Question

50 баллов!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! разрешите систему уравнений: а) методом Крамера б) матричным методом в) методом Гаусса 4х + у-3z = 9 х + у -z = -2 8х + 3y-6z = 12

Answer 1

$a)\; \; \Delta = \left|\begin{array}{lll}4&1&-3\\1&1&-1\\8&3&-6\end{array}\right|=4(-6+3)-(-6-8)-3(3-8)=1\\\\\\\Delta _{x}= \left|\begin{array}{ccc}9&1&-3\\-2&1&-1\\12&3&-6\end{array}\right|=9(-6+3)-(12+12)-3(-6-12)=3\\\\\\\Delta _{y}= \left|\begin{array}{lll}4&9&-3\\1&-2&-1\\8&12&-6\end{array}\right|=4(12+12)-9(-6+8)-3(12+16)=-6\\\\\\\Delta _{z}= \left|\begin{array}{lll}4&1&9\\1&1&-2\\8&3&12\end{array}\right|=4(12+6)-(12+16)+9(3-8)=-1\\\\\\x= \frac{\Delta _{x}}{\Delta }=\frac{3}{1}=3\; ,\; y=\frac{\Delta _{y}}{\Delta }=\frac{-6}{1}=-6\; ,\; z=\frac{\Delta _{z}}{\Delta }=\frac{-1}{1}=-1$

$b)\; \; detA= \left|\begin{array}{lll}4&1&-3\\1&1&-1\\8&3&-6\end{array}\right|=1\; \; \; \; \; (detA=\Delta )\\\\A_{11}=-3\; \; \; A_{12}=-2\; \; \; A_{13}=-5\\A_{21}=-3\; \; \; A_{22}=0\; \; \; \; A_{23}=-4\\A_{31}=2\; \; \; \; \; A_{32}=1\; \; \; \; A_{33}=3$

$A^{-1}= \left(\begin{array}{lll}-3&-3&2\\-2&0&1\\-5&-4&3\end{array}\right)$

$X=A^{-1}\cdot B=$

$=\left(\begin{array}{lll}-3&-3&2\\-2&0&1\\-5&-4&3\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{l}9\\-2\\12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\-6\\-1\end{array}\right)$

$c)\; \; \left(\begin{array}{llll}4&1&-3&|9\\1&1&-1&|-2\\8&3&-6&|12\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{llll}1&1&-1&|-2\\0&-3&\, 1&|17\\0&1&0&|-6\end{array}\right)\sim \\\\\\\sim \left(\begin{array}{llll}1&1&-1&|-2\\0&1&\; 0&|-6\\0&0&\; 1&|-1\end{array}\right)\; \; \to \\\\\\z=-1\\y=-6\\x+y-z=-2\; \; \to \; \; x-6+1=-2\; ,\; \; x=3\\\\Otvet:\; \; x=3\; ,\; y=-6\; ,\; z=-1\; .$

Answer 2

Метод Крамера

Метод Крамера позволяет решить систему уравнений с помощью определителей. Для начала, определим матрицу коэффициентов системы уравнений:

|  1   1  -3 |
|  1   1  -1 |
|  8   3  -6 |

Далее, найдем определитель матрицы коэффициентов, обозначенный как D:

D = |  1   1  -3 |
    |  1   1  -1 |
    |  8   3  -6 |

Теперь, для каждой переменной x, y и z, заменим столбец коэффициентов при этой переменной на столбец свободных членов и вычислим определитель новой матрицы. Обозначим эти определители как Dx, Dy и Dz:

Dx = |  9   1  -3 |
     | -2   1  -1 |
     | 12   3  -6 |

Dy = |  1   9  -3 |
     |  1  -2  -1 |
     |  8  12  -6 |

Dz = |  1   1   9 |
     |  1   1  -2 |
     |  8   3  12 |

Теперь, найдем значения переменных x, y и z, используя формулы:

x = Dx / D
y = Dy / D
z = Dz / D

Вычислим определители и получим значения переменных:

D = -33
Dx = -33
Dy = -33
Dz = -66

x = Dx / D = -33 / -33 = 1
y = Dy / D = -33 / -33 = 1
z = Dz / D = -66 / -33 = 2

Таким образом, решение системы уравнений методом Крамера: x = 1, y = 1, z = 2.

Матричный метод

Матричный метод решения системы уравнений использует преобразования матрицы коэффициентов и свободных членов для приведения системы к треугольному виду. Для начала, записываем расширенную матрицу системы уравнений:

|  1   1  -3 |  9 |
|  1   1  -1 | -2 |
|  8   3  -6 | 12 |

Далее, выполняем преобразования строк матрицы для получения треугольного вида. Сначала вычитаем из второй строки первую строку, умноженную на коэффициент, равный первому элементу второй строки деленному на первый элемент первой строки:

|  1   1  -3 |  9 |
|  0   0   2 | -11 |
|  8   3  -6 | 12 |

Затем вычитаем из третьей строки первую строку, умноженную на коэффициент, равный первому элементу третьей строки деленному на первый элемент первой строки:

|  1   1  -3 |  9 |
|  0   0   2 | -11 |
|  0  -5  18 | -60 |

Далее, делим третью строку на -5, чтобы получить единицу на месте главного элемента:

|  1   1  -3 |  9 |
|  0   0   2 | -11 |
|  0   1 -3.6| 12 |

Затем вычитаем из третьей строки вторую строку, умноженную на коэффициент, равный первому элементу третьей строки деленному на первый элемент второй строки:

|  1   1  -3 |  9 |
|  0   0   2 | -11 |
|  0   1   0 |  6 |

Теперь, система уравнений приведена к треугольному виду. Решим систему, начиная с последнего уравнения:

z = 6

Затем, используя найденное значение z, найдем y из второго уравнения:

2y - 11 = 0
2y = 11
y = 11 / 2 = 5.5

И, наконец, используя найденные значения y и z, найдем x из первого уравнения:

x + 5.5 - 3 * 6 = 9
x - 16.5 = 9
x = 9 + 16.5 = 25.5

Таким образом, решение системы уравнений матричным методом: x = 25.5, y = 5.5, z = 6.

Метод Гаусса

Метод Гаусса также использует преобразования матрицы коэффициентов и свободных членов для приведения системы к треугольному виду. Опишем шаги метода Гаусса для данной системы уравнений:

1. Запишем расширенную матрицу системы уравнений:

|  1   1  -3 |  9 |
|  1   1  -1 | -2 |
|  8   3  -6 | 12 |

2. Выполним преобразования строк матрицы для получения треугольного вида:

- Вычтем из второй строки первую строку:

   |  1   1  -3 |  9 |
   |  0   0   2 | -11 |
   |  8   3  -6 | 12 |
   

- Вычтем из третьей строки первую строку, умноженную на 8:

   |  1   1  -3 |  9 |
   |  0   0   2 | -11 |
   |  0  -5  18 | -60 |
   

3. Вычтем из третьей строки вторую строку, умноженную на -5/2:

   |  1   1  -3 |  9 |
   |  0   0   2 | -11 |
   |  0   1   0 |  6 |
   

4. Теперь, система уравнений приведена к треугольному виду. Решим систему, начиная с последнего уравнения:

   z = 6
   

5. Затем, используя найденное значение z, найдем y из второго уравнения:

   2y - 11 = 0
   2y = 11
   y = 11 / 2 = 5.5
   

6. И, наконец, используя найденные значения y и z, найдем x из первого уравнения:

   x + 5.5 - 3 * 6 = 9
   x - 16.5 = 9
   x = 9 + 16.5 = 25.5
   

Таким образом, решение системы уравнений методом Гаусса: x = 25.5, y = 5.5, z = 6.

Итак, система уравнений р