Question

найдите угол между диагоналями параллелограмма построенного на векторах a=2i+j и b=-j+2k

Answer 1

Векторы а {2; 1; 0} и  b{0; -1; 2} - стороны параллелограмма.
Одна диагональ является векторной суммой векторов d = a + b
d { 2; 0 2}.
Вторая диагональ является разностью векторов b и a: D = b - a
D{ -2; -2; 2}.
Скалярное произведение векторов d и D
d·D = -4 + 0 + 4 = 0
Следовательно векторы d и D - перпендикулярны друг другу.
Ответ: угол между диагоналями параллелограмма равен 90°

Answer 2

Для того чтобы найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \), можно воспользоваться формулой для нахождения угла между векторами:

\[ \cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} \]

где \( \theta \) - угол между векторами, \( \vec{a} \cdot \vec{b} \) - скалярное произведение векторов, \( |\vec{a}| \) и \( |\vec{b}| \) - модули (длины) векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \).

Давайте начнем с нахождения скалярного произведения векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \):

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = (2i+j) \cdot (-j+2k) \]

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot (-j) + 2 \cdot 2k = -2j + 4k \]

Теперь найдем модули векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \):

\[ |\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5} \]

\[ |\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5} \]

Теперь мы можем использовать найденные значения для вычисления угла \( \theta \):

\[ \cos(\theta) = \frac{-2j + 4k}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{-2j + 4k}{5} \]

\[ \theta = \arccos\left(\frac{-2j + 4k}{5}\right) \]

\[ \theta \approx 90^\circ \]

Таким образом, угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах \( \vec{a} = 2i+j \) и \( \vec{b} = -j+2k \), составляет примерно 90 градусов.