Question

В окружность вписан равносторонний треугольник ABC. На дуге AC взята произвольная точка M. Длины отрезков MA и MB соответственно равны 2 и 10. Найдите длину MС.

Answer 1

7

 

Теорема косинусов для треугольника AМC

AC^2=AM^2+MC^2-2*AM*CM*cosAMC

 

Теорема косинусов для треугольника BМC

BC^2=BM^2+MC^2-2*BM*CM*cosBMC

 

AC=BC (треугольник равносторонний) Тогда AC^2=BC^2

 

AM^2+MC^2-2*AM*CM*cosAMC=BM^2+MC^2-2*BM*CM*cosBMC

AM^2-2*AM*CM*cosAMC=BM^2-2*BM*CM*cosBMC

 

АМ и ВM знаем

2^2-2*2*CM*cosAMC=10^2-2*10*CM*cosBMC

4-4*CM*cosAMC=100-20*CM*cosBMC

 

Углы ВМС и ВАС равны, опираются на одну дугу. ВАС=60 - равносторонний треугольник.

Угол АМС=АМВ+ВМС=АСВ+ВАС=60+60=120

 

4-4*CM*cos120=100-20*CM*cos60

4-4*CM*(-1/2)=100-20*CM*1/2

4+2*CM=100-10*CM

12*CM=96

СМ=8

 

Ответ: 8

Answer 2

Так как треугольник ABC - равносторонний, то все его стороны равны между собой. Пусть длина стороны треугольника ABC равна a. Тогда длина отрезка MC равна a - 2 - 10 = a - 12.

Теперь рассмотрим треугольник AMC. Мы знаем, что угол AMC - это половина угла ABC, так как угол, стягиваемый дугой, равен половине центрального угла. Так как треугольник ABC - равносторонний, то угол ABC = 60 градусов. Следовательно, угол AMC = 30 градусов.

Теперь мы можем использовать теорему косинусов для нахождения длины отрезка MC: MC^2 = MA^2 + AC^2 - 2 * MA * AC * cos(30°) MC^2 = 2^2 + a^2 - 2 * 2 * a * cos(30°) MC^2 = 4 + a^2 - 4a * cos(30°)

Теперь мы можем найти значение cos(30°), которое равно √3/2, и подставить его в уравнение: MC^2 = 4 + a^2 - 4a * √3/2 MC^2 = 4 + a^2 - 2a * √3

Теперь мы можем найти значение a, используя факт, что треугольник ABC - равносторонний: a = 2 * MC

Таким образом, мы можем подставить значение a в уравнение для MC и решить его: MC^2 = 4 + (2MC)^2 - 2 * 2MC * √3 MC^2 = 4 + 4MC^2 - 4MC√3 3MC^2 + 4MC√3 - 4 = 0

Это уравнение квадратное относительно MC, и мы можем решить его, используя дискриминант: D = (4√3)^2 - 4 * 3 * (-4) = 48 + 48 = 96

MC = (-4√3 ± √96) / 6

MC = (-4√3 ± 4√6) / 6

Таким образом, длина отрезка MC равна: MC = (-2√3 ± 2√6) / 3

Итак, мы нашли два возможных значения для длины отрезка MC.