Question

найти производную функции y=arctg^3*4x*3^sinx

Answer 1

y=arctg^3(4x)*3^sinx

y`=(3arctg^2(4x)*4*1/(1+16x^2))*3^sinx + arctg^3(4x)*3^sinx ln3*cosx=

=123arctg^2(4x)*3^sinx/(1+16x^2) + arctg^3(4x)*3^sinx ln3*cosx

 

Answer 2

Функция, для которой нужно найти производную, задана следующим образом: y = arctg^3(4x * 3^sin(x)).

Для нахождения производной данной функции, мы можем использовать правило дифференцирования сложной функции. Правило гласит, что если у нас есть функция f(g(x)), то ее производная равна производной внешней функции, умноженной на производную внутренней функции.

Применяя это правило к нашей функции, мы получаем:

y' = (arctg^3(4x * 3^sin(x)))' = 3 * (arctg(4x * 3^sin(x)))^2 * (4x * 3^sin(x))',

где (4x * 3^sin(x))' - производная внутренней функции.

Для нахождения производной внутренней функции, мы можем использовать правило дифференцирования произведения функций. Правило гласит, что производная произведения функций равна производной первой функции, умноженной на вторую функцию, плюс первая функция, умноженная на производную второй функции.

Применяя это правило к внутренней функции (4x * 3^sin(x)), мы получаем:

(4x * 3^sin(x))' = (4x)' * 3^sin(x) + 4x * (3^sin(x))',

где (4x)' = 4 и (3^sin(x))' - производная функции 3^sin(x).

Для нахождения производной функции 3^sin(x), мы можем использовать правило дифференцирования степенной функции. Правило гласит, что производная степенной функции равна производной показательной функции, умноженной на исходную функцию, умноженную на натуральный логарифм основания степени.

Применяя это правило к функции 3^sin(x), мы получаем:

(3^sin(x))' = (e^(ln(3^sin(x))))' = (e^(sin(x) * ln(3)))' = e^(sin(x) * ln(3)) * (sin(x) * ln(3))',

где (sin(x) * ln(3))' - производная внутренней функции.

Таким образом, производная внутренней функции (4x * 3^sin(x)) будет равна:

(4x * 3^sin(x))' = 4 * 3^sin(x) + 4x * e^(sin(x) * ln(3)) * (sin(x) * ln(3))'.

Подставляя это значение обратно в исходную формулу для производной y', мы получаем:

y' = 3 * (arctg(4x * 3^sin(x)))^2 * (4 * 3^sin(x) + 4x * e^(sin(x) * ln(3)) * (sin(x) * ln(3))).

Итак, производная функции y = arctg^3(4x * 3^sin(x)) равна 3 * (arctg(4x * 3^sin(x)))^2 * (4 * 3^sin(x) + 4x * e^(sin(x) * ln(3)) * (sin(x) * ln(3))).