Question

Обчислити площу заштриховоної фігури y=x^3-3x+2. y=x+2

Answer 1

Ответ: S = 4.

ДАНО: y1 = x³ - 3*x + 2, y2 = x + 2

Найти: S=? - площадь.

Пошаговое объяснение:

1) Находим пределы интегрирования.

x+2 = x³ - 3*x +2

x³ - 4x = x*(x²-4) = x*(x-2)*(x+2) = 0.

Фигура справа -  а = 2 - верхний предел, b = 0 - нижний предел.

2) Площадь - интеграл разности функций.

$\int\limits^2_0 {(4x-x^3)} \, dx=\frac{4x^2}{2}-\frac{x^4}{4}$

3) Вычисляем

S(2) = 2*2² - 2⁴/4 = 8 - 4 =  4,  S(0) = 0

S = S(2) - S(0) = 4 - площадь.

Рисунок к задаче в приложении.

Answer 2

Для обчислення площі заштрихованої фігури, обмеженої двома кривими y=x^3-3x+2 та y=x+2, використовується метод інтегрування.

1. Спершу, знайдемо точки перетину двох кривих. Для цього поставимо рівними обидва рівняння і вирішимо рівняння за x:

x^3 - 3x + 2 = x + 2 x^3 - 4x - 2 = 0

Цей рівняльний вираз можна розв'язати за допомогою чисельних методів або графічного методу.

2. Після знаходження точок перетину, ми можемо визначити межі інтегрування. Це будуть значення x, для яких y1 = y2.

3. Оскільки об'єм фігури обчислюється за формулою ∫(y1 - y2) dx, ми можемо обчислити площу, множивши цей інтеграл на 2, оскільки площа фігури обчислюється як половина об'єму.

4. Нарешті, обчислимо інтеграл від y1 - y2 з межами a до b, де a та b - значення x, які ми знайшли на першому кроці.

Ось приклад коду на Python, який обчислює площу заштрихованої фігури:

import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
y1 = x**3 - 3*x + 2
y2 = x + 2

# Знаходимо точки перетину
solutions = sp.solve(y1 - y2, x)

# Визначаємо межі інтегрування
a = solutions[0]
b = solutions[1]

# Обчислюємо площу
area = sp.integrate(y1 - y2, (x, a, b))
print('Площа фігури: ', area)

Цей код використовує бібліотеку sympy для символьних обчислень в Python. Він спочатку визначає символ x і функції y1 та y2. Потім він знаходить точки перетину цих функцій, визначає межі інтегрування і обчислює площу фігури , , .