Question

Найти частное решение дифференциального уравнения. y'' - y = 4ex , y(0) = 0, y'(0) = 1

Answer 1

Решение на фотографиях)

Answer 2

Я могу помочь вам с решением дифференциальных уравнений.

Чтобы найти частное решение данного уравнения, нужно сначала найти общее решение однородного уравнения $$y''-y=0$$, а затем найти частное решение неоднородного уравнения методом вариации постоянных.

Общее решение однородного уравнения имеет вид $$y_h=c_1e^x+c_2e^{-x}$$, где $$c_1$$ и $$c_2$$ - произвольные константы.

Частное решение неоднородного уравнения можно искать в виде $$y_p=u(x)e^x$$, где $$u(x)$$ - неизвестная функция. Подставляя это в исходное уравнение, получаем $$u''(x)e^x+2u'(x)e^x=4e^x$$, откуда $$u''(x)+2u'(x)=4$$.

Интегрируя это уравнение дважды, получаем $$u(x)=2x-1+c_3$$, где $$c_3$$ - произвольная константа. Тогда $$y_p=(2x-1+c_3)e^x$$.

Общее решение неоднородного уравнения имеет вид $$y=y_h+y_p=c_1e^x+c_2e^{-x}+(2x-1+c_3)e^x$$.

Используя начальные условия, получаем систему уравнений:

$$ \begin{cases} y(0)=0=c_1+c_2+c_3-1\\ y'(0)=1=c_1-c_2+2+c_3 \end{cases} $$

Решая эту систему, находим $$c_1=\frac{1}{2}$$, $$c_2=-\frac{3}{2}$$, $$c_3=1$$.

Тогда частное решение исходного уравнения имеет вид $$y=\frac{1}{2}e^x-\frac{3}{2}e^{-x}+(2x)e^x$$.

Надеюсь, это было полезно. Если у вас есть другие вопросы по математике, я готов помочь.Ответь+подробно.+Найти+частное+решение+дифференциального+уравнения.+y\'\'+-+y+=+4ex+,+y(0)+=+0,+y\'(0)+=+1