Question

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = 3х^2, у = 0, х = 1 , х = 3

Answer 1

$S = \int\limits^3_1 {3x^2} \, dx =\\ =x^3|_1^3 = 27 - 1 = 26$

Answer 2

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = 3x^2, y = 0, x = 1 и x = 3, мы можем использовать метод интегрирования. Рассмотрим каждую линию по очереди.

Линия y = 3x^2 представляет собой параболу, открытую вверх, с вершиной в точке (0,0). Для нахождения площади, ограниченной этой параболой, мы должны найти площадь между параболой и осью x на заданном интервале.

Сначала найдем точки пересечения параболы с осями x. Подставляя y = 0 в уравнение параболы, получаем: 0 = 3x^2 x^2 = 0 x = 0

Таким образом, парабола пересекает ось x в точке (0, 0). Теперь мы можем найти площадь между параболой и осью x на интервале от x = 1 до x = 3.

Для нахождения площади между параболой и осью x мы можем использовать интеграл. Интеграл от функции f(x) на интервале [a, b] вычисляется следующим образом:

∫[a, b] f(x) dx

В нашем случае, функция f(x) = 3x^2, a = 1 и b = 3. Таким образом, мы можем записать интеграл для нахождения площади S:

S = ∫[1, 3] 3x^2 dx

Чтобы вычислить этот интеграл, мы можем использовать правило степени для интеграла и заменить x^2 на x^(2+1)/(2+1):

S = ∫[1, 3] 3x^2 dx = 3 * ∫[1, 3] x^(2+1)/(2+1) dx = 3 * ∫[1, 3] x^3/3 dx

Теперь мы можем интегрировать функцию x^3/3 по интервалу [1, 3]:

S = 3 * ∫[1, 3] x^3/3 dx = 3 * (x^4/12) |[1, 3] = 3 * ((3^4/12) - (1^4/12)) = 3 * ((81/12) - (1/12)) = 3 * (80/12) = 20

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = 3x^2, y = 0, x = 1 и x = 3, равна 20 квадратным единицам.