Question

Найдите промежутки возрастания и убывания функции y=x^3/3 -4x^2+7x-8

Answer 1

F(x)= x^3/3 - 4x^2 +7x- 8
f'(x)= x^2 - 8x + 7
f'(x)>0, функция возрастает
f'(x)<0, функция убывает
x1=7, x2=1
(-бесконечность;1) возрастает
[1;7] убывает
[7;+ бесконечность) возрастает

Answer 2

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции \( y = \frac{x^3}{3} - 4x^2 + 7x - 8 \), мы можем воспользоваться производной этой функции. Промежутки возрастания и убывания функции соответствуют интервалам, на которых производная положительна или отрицательна.

Нахождение производной

Начнем с нахождения производной функции \( y = \frac{x^3}{3} - 4x^2 + 7x - 8 \). Для этого возьмем производную каждого члена по отдельности: \[ y' = \frac{d}{dx}(\frac{x^3}{3}) - \frac{d}{dx}(4x^2) + \frac{d}{dx}(7x) - \frac{d}{dx}(8) \]

\[ y' = x^2 - 8x + 7 \]

Нахождение точек экстремума

Теперь, чтобы найти точки экстремума, приравняем производную к нулю и найдем соответствующие значения x: \[ x^2 - 8x + 7 = 0 \]

\[ (x-7)(x-1) = 0 \]

Отсюда получаем две точки, где производная равна нулю: \( x = 7 \) и \( x = 1 \).

Определение промежутков возрастания и убывания

Теперь мы можем использовать тест знаков производной, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции. Для этого мы можем выбрать тестовую точку в каждом из интервалов между точками экстремума (меньше 1, между 1 и 7, больше 7) и проверить знак производной на каждом из этих интервалов.

Значения производной: - При \( x < 1 \) (например, \( x = 0 \)): \( y' = (0)^2 - 8(0) + 7 = 7 \) (положительное значение) - При \( 1 < x < 7 \) (например, \( x = 4 \)): \( y' = (4)^2 - 8(4) + 7 = -9 \) (отрицательное значение) - При \( x > 7 \) (например, \( x = 8 \)): \( y' = (8)^2 - 8(8) + 7 = 15 \) (положительное значение)

Вывод

Итак, на основе теста знаков производной, функция \( y = \frac{x^3}{3} - 4x^2 + 7x - 8 \) убывает на интервале \( (1, 7) \) и возрастает за пределами этого интервала.

Если у вас есть еще вопросы или вам нужна дополнительная информация, пожалуйста, дайте знать!