Question

Помогите решить cos3xcosx - 2cos2x + 1 =0

Answer 1

Cos3xcosx-2cos2x+1=0
1/2(cos(3x-x)+cos(3x+x))-2cos2x+1=0
1/2(cos2x+cos4x)-2cos2x+1=0|*2
cos2x+cos4x-4cos2x+2=0
cos4x-3cos2x+2=0
cos^2(2x)-sin^2(2x)-3cos2x+2=0
cos^2(2x)-1+cos^2(2x)-3cos(2x)+2=0
2cos^2(2x)-3cos(2x)+1=0
cos2x=t замена
2t^2-3t+1=0
D=9-4*2*1=1
t1=3+-1/4=1
t2=1/2
cos2x=1
2x=2пк,к€z
x=пк,к€z
cos2x=1/2
2x=+-п/3+2пn,n€z
x=+-п/6+пn,n€z

Answer 2

Для решения уравнения cos3x*cosx - 2cos2x + 1 = 0, мы можем воспользоваться формулами для косинусов двойного и тройного угла.

cos3x = 4cos^3x - 3cosx cos2x = 2cos^2x - 1

Подставим эти значения в уравнение:

(4cos^3x - 3cosx)*cosx - 2(2cos^2x - 1) + 1 = 0 4cos^4x - 3cos^2x - 4cos^2x + 2 + 1 = 0 4cos^4x - 7cos^2x + 3 = 0

Теперь мы можем ввести замену, например, u = cos^2x, тогда уравнение примет вид:

4u^2 - 7u + 3 = 0

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = (-7)^2 - 4*4*3 = 49 - 48 = 1

u1,2 = (7 ± √1) / 8 u1 = 1, u2 = 3/4

Теперь вернемся к исходной переменной:

cos^2x = 1 => cosx = ±1 cos^2x = 3/4 => cosx = ±√3/2

Таким образом, уравнение имеет 4 корня:

x1 = π/2 x2 = -π/2 x3 = π/3 x4 = -π/3

Это решение уравнения cos3x*cosx - 2cos2x + 1 = 0.