Question

Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика функции:Упор можно сделать на нахождение первой и второй производной, если удастся сфотографировать подробный процесс - буду очень благодарен.

Answer 1

$y = e^x* \sqrt[3]{x^2}=e^x*x^ \frac{2}{3}$
$y'= \frac{1}{3} {\frac {{e^{x}} ( 2+3x) }{\sqrt [3]{x}}}$
$y''= \frac{1}{9} {\frac {{e^{x}}( -2+12x+9x^2) }{x^{4/3}}}$

Производную следует брать так:
$(x^n *e^x)' = (x*n)'*e^x+x^n(e^x)'=e^x(nx^{n-1}+x^n)$, где n - степень, у нас она разная.

Функция выпукла вверх когда ее вторая производная отрицательна, функция выпукла вниз (вогнута) когда ее вторая производная положительна. Точки, в которых вторая производная равна нулю (это точки смены знака второй производной) - это точки перегиба (в них происходит смена направления выпуклости).

Answer 2

Для нахождения интервалов выпуклости, вогнутости и точек перегиба графика функции, необходимо проанализировать ее производные.

1. Найдем первую производную функции f(x). 2. Найдем вторую производную функции f(x). 3. Найдем точки, где вторая производная равна нулю или не существует. Эти точки будут потенциальными точками перегиба. 4. Проведем исследование знаков второй производной на интервалах между найденными точками. Если вторая производная положительна, то функция выпукла вверх на этом интервале, если отрицательна - вогнута. Точки, где знак второй производной меняется, будут точками перегиба.

Пример: Пусть дана функция f(x) = x^3 - 3x^2 + 2.

1. Найдем первую производную: f'(x) = 3x^2 - 6x. 2. Найдем вторую производную: f''(x) = 6x - 6. 3. Найдем точки перегиба, приравняв вторую производную к нулю: 6x - 6 = 0 => x = 1. 4. Исследуем знаки второй производной на интервалах (-∞, 1) и (1, +∞). - Для x < 1, f''(x) < 0, значит функция вогнута. - Для x > 1, f''(x) > 0, значит функция выпукла.

Таким образом, у нас есть точка перегиба при x = 1, интервалы вогнутости (-∞, 1) и выпуклости (1, +∞).

Если у вас есть конкретная функция, для которой вы хотели бы найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба, пожалуйста, предоставьте ее, и я с удовольствием помогу вам с этим.