Question

СРОЧНО!!!!ДАЮ 100 БАЛЛОВдослідження проміжку зростання і спадання функції y=x⁴-2x²​

Answer 1

Ответ:

решение смотри на фотографии

Answer 2

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Решение дано на фото.

Answer 3

Звісно, я можу допомогти вам провести дослідження функції $y = x^4 - 2x^2$. Давайте розглянемо цю функцію крок за кроком.

1. Знайдемо похідну функції $y$:

   $y' = 4x^3 - 4x$.

2. Знайдемо точки перегину, де $y'$ дорівнює нулю:

   $4x^3 - 4x = 0$.

   Розкриваємо дужки та спрощуємо:

   $4x(x^2 - 1) = 0$.

   Розв'язуємо рівняння для $x$:

   $x = 0$ (це один з перегинів) і $x = \pm 1$ (це інші два перегини).

3. Знайдемо значення $y$ в цих точках перегину:

   Для $x = 0$, $y(0) = 0^4 - 2 \cdot 0^2 = 0$.

   Для $x = 1$, $y(1) = 1^4 - 2 \cdot 1^2 = -1$.

   Для $x = -1$, $y(-1) = (-1)^4 - 2 \cdot (-1)^2 = -1$.

4. Дослідимо зростання і спадання функції:

   Для цього скористаємося похідною $y'$ та знайденими точками перегину.

   • Між $-\infty$ і $-1$, $y'$ від'ємний, тобто функція спадає.
   • Між $-1$ і $0$, $y'$ додатній, тобто функція зростає.
   • Між $0$ і $1$, $y'$ від'ємний, тобто функція спадає.
   • Між $1$ і $+\infty$, $y'$ додатній, тобто функція зростає.

5. Знайдемо точки екстремуму (максимуми та мінімуми):

   Для цього треба розв'язати рівняння $y' = 0$.

   $4x^3 - 4x = 0$.

   Знайдемо спільний множник, $4x$:

   $4x(x^2 - 1) = 0$.

   Розв'яжемо $4x = 0$, отримаємо $x = 0$.

   Тепер розв'яжемо $x^2 - 1 = 0$:

   $x^2 = 1$.

   Звідси отримуємо два розв'язки: $x = 1$ і $x = -1$.

6. Знайдемо значення $y$ в цих точках екстремуму:

   Для $x = 0$, $y(0) = 0$.

   Для $x = 1$, $y(1) = -1$.

   Для $x = -1$, $y(-1) = -1$.

7. Дослідимо знак другої похідної, щоб визначити тип точок екстремуму:

   Друга похідна: $y'' = 12x^2 - 4$.

   • При $x = 0$, $y''(0) = -4$, це означає, що у точці $x = 0$ є максимум.
   • При $x = 1$, $y''(1) = 8$, це означає, що у точці $x = 1$ є мінімум.
   • При $x = -1$, $y''(-1) = 8$, це означає, що у точці $x = -1$ є мінімум.

Таким чином, функція $y = x^4 - 2x^2$ має наступні характеристики:

• Мінімум в точці $(-1, -1)$.
• Максимум в точці $(0, 0)$.
• Мінімум в точці $(1, -1)$.
• Функція спадає на інтервалах $(-\infty, -1)$ і $(0, 1)$.
• Функція зростає на інтервалах $(-1, 0)$ і $(1, +\infty)$ 0 0