Question

Відстань між точками M i N становить 6,2 см. Знайди на прямій MN всі такі точки, сума відстаней від кожної з них до точок MiN дорівнює 11 см. допоможіть будьласка

Answer 1

Згідно з умовою задачі, сума відстаней від точки P до точок MiN дорівнює 11 см. Застосуємо цей факт до внутрішньої і зовнішньої бісектриси трикутника MPN:

до внутрішньої бісектриси: MP + PN = 11,
до зовнішньої бісектриси: MP - PN = 11.

х + (6,2 - х) = 11
х - (6,2 - х) = 11

х + 6,2 - х = 11,
6,2 = 11,
x = 4,8.

відстань від точки P до точки M дорівнює 4,8 см, а відстань від точки P до точки N дорівнює 6,2 - 4,8 = 1,4 см.

отже, є дві точки на прямій MN, в яких сума відстаней до точок MiN дорівнює 11 см: точка P, де відстань до точки M дорівнює 4,8 см і відстань до точки N дорівнює 1,4 см, і точка, яка є зеркальним відображенням точки P відносно середини проміжку MN

Answer 2

Давайте позначимо точку M як (0, 0), оскільки вибір початку координат може бути довільним, і обчислимо розташування точки N.

За умовою, відстань між точками M і N становить 6,2 см, тобто довжина відрізка MN дорівнює 6,2 см.

Тепер ми шукаємо всі точки P на прямій MN такі, що сума відстаней від точки P до точок M і N дорівнює 11 см. Позначимо відстані від точки P до M і N як PM і PN відповідно.

Ми знаємо, що PM + PN = 11 см.

Ми також знаємо, що MN = 6,2 см.

Так як точка M має координати (0, 0), то координати точки N будуть (x, y), де x - відстань по горизонталі (ось x), і y - відстань по вертикалі (ось y).

Ми можемо застосувати теорему Піфагора для прямокутного трикутника, утвореного відрізками PM, PN і MN:

(PM)² + (PN)² = (MN)²

Підставимо відомі значення:

(PM)² + (11 - PN)² = (6,2)²

Тепер ми можемо вирішити це рівняння для PM і PN:

(PM)² + (11 - PN)² = 6,2² (PM)² + (121 - 22PN + PN²) = 38,44

Тепер перегрупуємо це рівняння:

(PM)² + PN² - 22PN + 121 = 38,44

Піднімемо обидві сторони рівняння до квадрата, щоб позбавитися від знаків кореня:

(PM)² + PN² - 22PN + 121 = 38,44 (PM)² + PN² - 22PN = 38,44 - 121 (PM)² + PN² - 22PN = -82,56

Тепер ми можемо вирішити це рівняння для PM і PN:

PM² + PN² - 22PN = -82,56

Тепер ми знаємо, що PM + PN = 11, і ми маємо рівняння:

PM² + PN² - 22PN = -82,56

Ми можемо використовувати ці два рівняння для визначення PM і PN. Розв'яжемо їх систему:

Спростимо перше рівняння:

PM + PN = 11

Отже, PM = 11 - PN

Тепер підставимо це значення PM в друге рівняння:

(11 - PN)² + PN² - 22PN = -82,56

Розкриваємо дужки:

121 - 22PN + PN² + PN² - 22PN = -82,56

Підсумовуємо подібні члени:

2PN² - 44PN + 203,56 = 0

Далі можна застосувати квадратне рівняння. Спершу поділимо обидві сторони на 2:

PN² - 22PN + 101,78 = 0

Тепер вирішимо це квадратне рівняння за допомогою квадратного кореня:

PN = (-(-22) ± √(22² - 4 * 101,78)) / (2 * 1)

Розрахуємо значення PN:

PN = (22 ± √(484 - 407,12)) / 2

PN = (22 ± √76,88) / 2

PN = (22 ± 8,77) / 2

Тепер розглянемо два варіанти:

1. PN = (22 + 8,77) / 2 = 15,88 / 2 = 7,94
2. PN = (22 - 8,77) / 2 = 13,23 / 2 = 6,62

Тепер, коли ми знайшли значення PN, ми можемо знайти значення PM за допомогою першого рівняння:

1. PM = 11 - 7,94 = 3,06
2. PM = 11 - 6,62 = 4,38

Тепер у нас є дві пари значень PM і PN:

1. PM = 3,06 і PN = 7,94
2. PM = 4,38 і PN = 6,62

Отже, дві пари точок P на прямій MN, для яких сума відстаней від кожної з них до точок M і N дорівнює 11 см, це:

1. P1 (3,06, 7,94)
2. P2 (4,38, 6,62)