Question

Берется произвольное натуральное число, если оно нечетное то оно умножается на 3 и к нему прибавляется 1, если же четное его делят на 2, и с результатом делают тоже самое (т.е если нечетный он умножается на 3 и к нему прибавляют 1, если четный то снова делят на 2 и.т.д), докажите или опровергните что при любом натуральном числе в конце всегда выйдет зацикленная последовательность 4,2,1

Answer 1

Данная последовательность называется гипотезой Коллатца или гипотезой (3n+1). Эта гипотеза утверждает, что при любом натуральном числе в конце всегда выйдет зацикленная последовательность 4,2,1. Однако, до сих пор не было найдено математического доказательства этой гипотезы.

Рассмотрим пример для числа 5:

5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1

Как видно, последовательность заканчивается на 4,2,1. Проделаем то же самое для числа 6:

6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1

Также заканчивается на 4,2,1. Мы можем продолжать этот процесс для любого натурального числа и мы всегда будем получать последовательность заканчивающуюся на 4,2,1. Однако, как я уже упоминал ранее, это не доказано.

Answer 2

Это утверждение связано с гипотезой Коллатца, также известной как проблема 3n+1. Гипотеза Коллатца утверждает, что для любого положительного натурального числа, если вы применяете описанный вами процесс (умножение на 3 и прибавление 1 для нечетных чисел, деление на 2 для четных чисел), то в конечном итоге вы придете к числу 1, и последовательность будет зацикливаться как 4, 2, 1.

Данная гипотеза до сих пор не была доказана или опровергнута, и она остается открытой математической проблемой. Несмотря на множество численных экспериментов и подтверждений для множества чисел, нет аналитического доказательства, что это верно для всех натуральных чисел.

Таким образом, пока что нельзя окончательно доказать или опровергнуть, что для любого натурального числа последовательность всегда будет зацикливаться как 4, 2, 1.