Question

Знайти проміжки зростання спадання f(x) = x^3 - 18x

Answer 1

F'(x)=3x²-18=0
3x²=18
x²=6
x1=-√6
x2=√6
нанесем корни на числовую ось и определим знаки производной на интервалах
так как производная является квадратичной функцией с положительным старшим коэффициентом то на крайних интервалах она принимает положительные значения а в среднем отрицательное
там где производная имеет зна + функция возрастает а где - убывает

Answer 2

Щоб знайти проміжки зростання та спадання функції $f(x) = x^3 - 18x$, спочатку потрібно знайти похідну цієї функції та визначити її знаки. Тоді визначимо, де функція зростає (похідна додатня) та де вона спадає (похідна від'ємна).

Крок 1: Знаходження похідної функції $f'(x)$: $f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 18x)$.

Для знаходження похідної використаємо правило диференціювання степеневої функції та суми функцій: $f'(x) = 3x^2 - 18$.

Крок 2: Знаходження точок, де $f'(x) = 0$: $3x^2 - 18 = 0$.

Далі розв'язуємо рівняння:

$3x^2 = 18$,

$x^2 = 6$,

$x = \pm \sqrt{6}$.

Таким чином, ми маємо дві критичні точки: $x = \sqrt{6}$ та $x = -\sqrt{6}$.

Крок 3: Визначення знаків похідної на інтервалах між критичними точками та за їх межами:

1. Розглянемо інтервал $(-\infty, -\sqrt{6})$: Підставимо $x = -\sqrt{6}$ у $f'(x)$: $f'(-\sqrt{6}) = 3(-\sqrt{6})^2 - 18 = 3 \cdot 6 - 18 = 0$.

Таким чином, на цьому інтервалі $f'(x)$ змінює свій знак з мінусу на плюс, тобто функція $f(x)$ зростає.

2. Розглянемо інтервал $(- \sqrt{6}, \sqrt{6})$: Оберемо точку, наприклад, $x = 0$, і підставимо її у $f'(x)$: $f'(0) = 3 \cdot 0^2 - 18 = -18$.

Таким чином, на цьому інтервалі $f'(x)$ залишається від'ємним, тобто функція $f(x)$ спадає.

3. Розглянемо інтервал $(\sqrt{6}, \infty)$: Підставимо $x = \sqrt{6}$ у $f'(x)$: $f'(\sqrt{6}) = 3(\sqrt{6})^2 - 18 = 3 \cdot 6 - 18 = 0$.

Таким чином, на цьому інтервалі $f'(x)$ змінює свій знак з плюсу на мінус, тобто функція $f(x)$ спадає.

Крок 4: Підсумовуємо отримані результати:

Функція $f(x) = x^3 - 18x$ зростає на інтервалах $(-\infty, -\sqrt{6})$ та $(\sqrt{6}, \infty)$, а спадає на інтервалі $(- \sqrt{6}, \sqrt{6})$