Question

Задано трикутник з вершинами у точках А(1;2), В(-5;3), С(1;-5). Знайдіть рівняння довжини медіани і висоти трикутника, проведених з вершини А.

Answer 1

Даны точки А(1;2), В(-5;3), С(1;-5).

1) Уравнение медианы AM.

Точка М - середина ВС. М((-5+1)/2=-2; (3-5)/2=-1) = (-2; -1).

АМ : Х-Ха = У-Уа

  Х(АМ)-Ха  У(АМ)-Уа

Уравнение АМ: (х - 1)/(-3) = (у - 2)/(-3)     каноническое

                          х - 1 = у - 2,  х - у + 1 = 0   общее

                           у = х + 1                           с угловым коэффициентом.

2) Длина АМ = √(-2-1)² + (-1-2)²) = √(9 + 9) = √18 = 3√2.

3) Высота АН. Угловой коэффициент этой прямой к = -1/к(ВС).

к(ВС) = Δу/Δх = -8/6 = -4/3.

Тогда к = -1/(-4/3) = 3/4.

Уравнение имеет вид у = (3/4)х + в.

Для определения параметра "в" подставим координаты точки А, через которую проходит прямая.

2 = (3/4)*1 + в,

в = 2 - (3/4) = 5/4.

Уравнение АН: у = (3/4)х + (5/4).

4) Для определения длины высоты АН надо найти площадь треугольника и длину стороны ВС.

Площадь треугольника ABC:      

S=(1/2)*|(Хв-Ха)*(Ус-Уа)-(Хс-Ха)*(Ув-Уа)| =  21 .

Длина ВС =√((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) = √100 =  10.

АН = 2S/ВС = (2*21)/10 = 4,2 .

   

Answer 2

Для того щоб знайти рівняння медіани трикутника, що проведена з вершини А, спочатку потрібно знайти середину сторони, протилежної вершині А. Аналогічно, щоб знайти рівняння висоти, проведеної з вершини А, потрібно знайти перпендикулярний вектор до протилежної сторони, що проходить через вершину А.

1. Знайдемо середину сторони ВС: Середина сторони ВС має координати: x = (Вx + Сx) / 2 y = (Вy + Сy) / 2

Вx = -5, Вy = 3 Сx = 1, Сy = -5

x = (-5 + 1) / 2 = -4 / 2 = -2 y = (3 - 5) / 2 = -2 / 2 = -1

Середина сторони ВС має координати (-2, -1).

2. Знайдемо рівняння медіани, проведеної з вершини А до середини сторони ВС: Для знаходження рівняння прямої, яка проходить через дві точки, можемо використати формулу: y - y₁ = m(x - x₁),

де (x₁, y₁) - координати однієї точки на прямій, m - нахил прямої, який можна знайти за допомогою двох точок (в даному випадку, вершина А та середина сторони ВС).

Координати вершини А: А(1, 2). Координати середини сторони ВС: B'(-2, -1).

m = (y - y₁) / (x - x₁) = (2 - (-1)) / (1 - (-2)) = 3 / 3 = 1.

Тепер, знаючи нахил медіани та координати однієї точки (вершина А), можемо записати рівняння медіани: y - 2 = 1(x - 1), y = x + 1.

Рівняння медіани трикутника, проведеної з вершини А: y = x + 1.

3. Знайдемо рівняння висоти, проведеної з вершини А. Висота трикутника, проведена з вершини А, перпендикулярна до сторони ВС. Її нахил буде оберненим та протилежним до нахилу сторони ВС.

Нахил сторони ВС: m_ВС = (Сy - Вy) / (Сx - Вx) = (-5 - 3) / (1 - (-5)) = -8 / 6 = -4 / 3.

Так як висота має бути перпендикулярна до сторони ВС, то її нахил буде оберненим та протилежним: m_висоти = -1 / m_ВС = -1 / (-4 / 3) = 3 / 4.

Тепер, знаючи нахил висоти та координати вершини А, можемо записати рівняння висоти: y - 2 = (3 / 4)(x - 1), y = (3 / 4)x + (3 / 4) + 2, y = (3 / 4)x + 11 / 4.

Рівняння висоти трикутника, проведеної з вершини А: y = (3 / 4)x + 11 / 4.