Question

(log0.5 x)^2+3log0.5 x-4<=0 Помогите пожалуйста

Answer 1

Если мы
$log_{ \frac{1}{2} }(x)$
будем брать как a то у нас получиться
$a^{2} + 3a - 4 \leqslant 0$
решая этот кв. уравнение получим
a э[-4:1]. Потом подставив в логарифмическую функцыю у нас получится x э[1/2:16]

Answer 2

Давайте решим неравенство шаг за шагом. Для этого давайте введем замену, чтобы упростить неравенство.

Обозначим: y = log₀.₅(x).

Теперь наше неравенство будет выглядеть следующим образом:

y² + 3y - 4 ≤ 0.

Давайте решим это квадратное неравенство. Сначала найдем корни уравнения:

y² + 3y - 4 = 0.

Для этого используем факторизацию:

(y + 4)(y - 1) = 0.

Отсюда получаем два корня:

y₁ = -4 и y₂ = 1.

Теперь построим таблицу знаков для уравнения:

Copy code
  y < -4     |    -4 ≤ y ≤ 1     |    y > 1

---

y² + 3y - 4 | + | - | +

y² + 3y - 4 ≤ 0 | + | - | +

Значения у равны -4 и 1 не входят в интервал решения, так как мы имеем строгое неравенство (≤). Теперь вернемся к исходному выражению:

log₀.₅(x) = y.

Теперь мы можем записать интервальное решение исходного неравенства:

-4 < log₀.₅(x) ≤ 1.

Чтобы получить окончательное решение в виде выражения для x, давайте применим свойства логарифмов:

0.5⁻⁴ < x ≤ 0.5¹.

Вычислим степени 0.5:

1/16 < x ≤ 0.5.

Итак, решением исходного неравенства является интервал (1/16, 0.5].