Question

Решить пример (1+i)^5

Answer 1

Мммм... Компле́ксые числа... Мои любимые))

Answer 2

Чтобы решить этот пример, мы можем использовать формулу для возведения комплексного числа в степень, известную как формула Муавра. Формула Муавра имеет вид:

(rcos(theta) + isin(theta))^n = r^n * (cos(ntheta) + isin(n*theta))

Где r - модуль комплексного числа, theta - аргумент комплексного числа, и n - степень, в которую мы возводим комплексное число.

Для числа (1 + i) модуль r и аргумент theta можно найти следующим образом:

r = sqrt(1^2 + 1^2) = sqrt(2) theta = arctan(1/1) = arctan(1) = pi/4

Теперь мы можем подставить значения r и theta в формулу Муавра:

(1 + i)^5 = (sqrt(2))^5 * (cos(5*(pi/4)) + isin(5(pi/4)))

Теперь, давайте вычислим каждую составляющую формулы:

(sqrt(2))^5 = 2^(5/2) = 2^(2 + 1/2) = 4 * sqrt(2)

cos(5*(pi/4)) = cos(5*pi/4) = cos(pi + pi/4) = -cos(pi/4) = -1/sqrt(2)

sin(5*(pi/4)) = sin(5*pi/4) = sin(pi + pi/4) = -sin(pi/4) = -1/sqrt(2)

Теперь мы можем записать ответ:

(1 + i)^5 = 4 * sqrt(2) * (-1/sqrt(2) + i*(-1/sqrt(2)))

Упрощая этот результат, получим:

(1 + i)^5 = -4 - 4i