Question

Исследовать сходимость ряда: 1/2 - 2/3 + 3/4 - 4/5 + ...

Answer 1

+ 5/6 + 6/7 и т.д.
надеюсь понятно

Answer 2

Данный ряд является альтернирующимся рядом, так как знаки слагаемых чередуются. Чтобы исследовать его сходимость, мы можем использовать признак альтернирующихся рядов.

Признак альтернирующихся рядов гласит, что если абсолютные значения слагаемых убывают и стремятся к нулю, а знаки чередуются (то есть одно слагаемое положительное, а следующее отрицательное), то ряд сходится.

Для данного ряда рассмотрим последовательность его абсолютных значений:

|1/2|, |2/3|, |3/4|, |4/5|, ...

Как видим, абсолютные значения убывают и стремятся к нулю:

lim (n → ∞) |n / (n + 1)| = lim (n → ∞) (n / (n + 1)) = lim (n → ∞) (1 - 1 / (n + 1)) = 1.

Также заметим, что знаки чередуются: первое слагаемое положительное, второе отрицательное, и так далее.

Исходя из признака альтернирующихся рядов, мы можем заключить, что данный ряд сходится.

Чтобы вычислить его сумму, нам нужно применить формулу суммы альтернирующегося ряда. Для ряда вида (-1)^(n+1) * a_n, где a_n - положительная последовательность, сумма ряда равна сумме абсолютных значений слагаемых, умноженной на (-1):

Сумма = -1 * Сумма |a_n|

Таким образом, сумма данного ряда будет:

Сумма = -1 * 1 = -1.

Ответ: сумма ряда равна -1.