Question

Помогите решить уравнения 1)(2/√3) (tgx-ctgx) = tg2x+ctg2x-2

Answer 1

(2/√3) (tgx-ctgx) = tg2x+ctg2x-2

(2/√3) (tgx-ctgx) = (tgx-ctgx) 2

2/√3) (tgx-ctgx) - (tgx-ctgx) 2=0

(tgx-ctgx) (2/√3-tgx+ctgx) = 0

tgx-1/tgx=0

(tg2x-1) / tgx=0

(tgx-1) (tgx+1) = 0, tgx≠0

tgx=1⇒x=π/4+πk, k∈z

tgx=-1⇒x=-π/4+πk, k∈z

2/√3-tgx+1/tgx=0

2tgx-√3tg2x+√3=0

tgx=a

√3a2-2a-√3=0

D=4+12=16

a1 = (2-4) / 2√3=-1/√3⇒tgx=-1/√3⇒x=-π/6+πk, k∈z

a2 = (2+4) / 2√3=√3⇒tgx=√3⇒x=π/3+πk, k∈z

Answer 2

Давайте рассмотрим данное уравнение пошагово и постараемся его решить.

Исходное уравнение:

$$\frac{2}{\sqrt{3}} (\tan{x} - \cot{x}) = \tan^2{x} + \cot^2{x} - 2$$

Для начала, давайте выразим $\cot{x}$ через $\tan{x}$:

$$\cot{x} = \frac{1}{\tan{x}}$$

Теперь подставим это выражение в уравнение:

$$\frac{2}{\sqrt{3}} (\tan{x} - \frac{1}{\tan{x}}) = \tan^2{x} + \frac{1}{\tan^2{x}} - 2$$

Умножим всё уравнение на $\sqrt{3}\tan{x}$ (чтобы избавиться от дробей):

$$2\sqrt{3} \tan^2{x} - 2\sqrt{3} = 3\tan^4{x} + 3 - 2\tan^2{x}$$

Переносим всё в одну сторону и упрощаем:

$$3\tan^4{x} - 2\sqrt{3}\tan^2{x} + 2\sqrt{3} = 0$$

Это уравнение квадратное относительно $\tan^2{x}$. Пусть $y = \tan^2{x}$, тогда:

$$3y^2 - 2\sqrt{3}y + 2\sqrt{3} = 0$$

Решим это квадратное уравнение относительно $y$. Можно воспользоваться квадратным корнем или дискриминантом, но в данном случае это немного громоздко. Давайте воспользуемся решателем квадратных уравнений:

$$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

где $a = 3$, $b = -2\sqrt{3}$, $c = 2\sqrt{3}$.

Вычислим дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = (-2\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2\sqrt{3} = 12 - 24\sqrt{3}$$

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), у уравнения нет действительных корней. Это означает, что исходное уравнение

$$\frac{2}{\sqrt{3}} (\tan{x} - \cot{x}) = \tan^2{x} + \cot^2{x} - 2$$

не имеет решений на множестве действительных чисел.

Таким образом, данное уравнение не имеет решений.