Question

Дослідити функцію в побудувати її графік х^3-3х^2+4

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

1) Область определения:

D(y)=(-∞;+∞);

2) Находим производную функции

y`=(-x³-3x²+4)`=(-x³)`+(-3x²)`+(4)`=-3x²-6x;

3) Находим точки возможных экстремумов, т.е точки, в которых производная равна 0.

у`=0

-3x²-6x=0;

-3x(x+2)=0;

x=0  или   х= - 2

4) Применяем достаточное условие экстремума, находим знаки производной слева и справа от этих точек:

____-___(-2)___+___(0)___-___

х=-2 - точка минимума, так как при переходе через точку производная меняет знак с - на +.

х=0- точка максимума, так как при переходе через точку производная меняет знак с + на -.

у(-2)=-(-2)³-3·(-2)²+4=-(-8)-3·4+4=8-12+4=0

у(0)=0³-3·0²+4=4

(-2;0)- точка локального минимума

(0;4)- точка локального максимума

4) Нули функции:

точки пересечения с осью ох.

у=0

-х³-3х²+4=0;

-х³+1-3х²+3=0;

-(х³-1)-3(х²-1)=0

(х-1)(-х²-х-1-3)=0

х-1=0     или  -х²-х-4=0

x=1                 х²+х+4=0

                      D=1-16<0  уравнение не имеет корней

(1;0)- точка пересечения с осью ох.

5) Точка пересечения с осью оу (0;4)

6) Дополнительные точки

х=2       у=-2²-3·2²+4=-16

х=-1      у=-(-1)³-3·(-1)²+4=2

х=-3      у=-(-3)³-3·(-3)²+4=27-27+4=4

Answer 2

Щоб дослідити функцію f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 та побудувати її графік, давайте проаналізуємо деякі основні характеристики цієї функції.

1. Значення функції при x = 0: Підставимо x = 0 у вираз f(x): f(0) = 0^3 - 3(0^2) + 4 = 4 Отже, функція при x = 0 має значення f(0) = 4.

2. Значення функції при x -> +/- ∞: Якщо x збільшується або зменшується до нескінченності, то коефіцієнт при найвищій степені x (x^3) домінуватиме над іншими доданками. Тому функція буде збільшуватися або зменшуватися до нескінченності разом зі збільшенням абсолютної величини x.

3. Знаходження точок перетину з осями координат: a. З точкою перетину з осью абсцис (ось Ox) - для цього потрібно вирішити рівняння f(x) = 0: x^3 - 3x^2 + 4 = 0 Це рівняння можна спростити або знайти корені чисельником ділення алгоритмом Бриджа-Торіна. Після розрахунку коренів ми можемо встановити точки перетину функції з осью абсцис.

   b. З точкою перетину з осью ординат (ось Oy) - для цього встановлюємо x = 0 у виразі f(x): f(0) = 0^3 - 3(0^2) + 4 = 4 Отже, точка перетину функції з осью ординат - (0, 4).

4. Знаходження точок екстремуму та інтервалів зростання/спадання: a. Пошук точок екстремуму - для цього потрібно знайти похідну функції і прирівняти її до нуля: f'(x) = 3x^2 - 6x 3x^2 - 6x = 0 x(3x - 6) = 0 x = 0 або x = 2

   Таким чином, точки екстремуму будуть x = 0 та x = 2.

   b. Визначення інтервалів зростання/спадання - для цього можемо скористатися знаками похідної функції:

   • Інтервал зростання: (-∞, 0) та (2, +∞)
   • Інтервал спадання: (0, 2)

5. Аналіз поведінки функції біля точок: a. Біля точки x = 0: Підставимо деякі значення, наближені до 0, у вираз f(x) для оцінки поведінки функції: f(0.1) ≈ 4.01 f(0.01) ≈ 4.0001 f(-0.1) ≈ 4.01 f(-0.01) ≈ 4.0001

   З цього випливає, що функція f(x) близька до 4 при наближенні x до 0.

   b. Біля точки x = 2: Підставимо деякі значення, наближені до 2, у вираз f(x) для оцінки поведінки функції: f(1.9) ≈ 3.399 f(2.1) ≈ 3.399 f(1.99) ≈ 3.39601 f(2.01) ≈ 3.39601

   З цього випливає, що функція f(x) близька до 3.4 при наближенні x до 2.

Тепер ми можемо побудувати графік функції f(x) = x^3 - 3x^2 + 4, використовуючи отримані результати та загальні знання про графіки кубічних функцій. Нижче наведений графік цієї функції:

markdownCopy code
        ^
        |
      4 |                      .
        |                   .
        |                .
        |            .
        |        .
      0 |___________.___.___.___.___.___.___.___.___.___.___.___.___
       -∞         -2  -1   0   1   2   3   4   5   6   7   8   9   +∞

На графіку видно, що функція f(x) = x^3