Question

Найдите область определения функции: у = √(3х-6) + √(9-х²)

Answer 1

у = х³ + 6х² + 9х

Производная

у' = 3х² + 12х + 9

Приравниваем производную к нулю

3х² + 12х + 9 = 0

или

х² + 4х + 3 = 0

D = 16 - 12 = 4

х1 = (-4 - 2)/2 = -3

х2 = (-4 + 2)/2 = - 1

По свойствам графика производной у' = 3х² + 12х + 9, она имеет следующие знаки в промежутках

-----(+)----- -3 ------(-)-------- -1 --------(+)----------

Поэтому функция возрастет при х∈(-∞; -3) U (-1: +∞)

и убывает в интервале х∈(-3; -1)

Answer 2

Чтобы найти область определения функции, нужно определить значения переменной x, для которых выражение под корнем будет неотрицательным (или равным нулю), так как нельзя извлекать квадратный корень из отрицательного числа и делить на ноль.

1. Выражение под первым корнем: $3x - 6$. Для того чтобы выражение $3x - 6$ было неотрицательным, должно выполняться условие: $3x - 6 \geq 0$ $3x \geq 6$ $x \geq 2$

2. Выражение под вторым корнем: $9 - x^2$. Для того чтобы выражение $9 - x^2$ было неотрицательным, должно выполняться условие: $9 - x^2 \geq 0$ $x^2 \leq 9$ $|x| \leq 3$

Объединяя оба условия, получаем: $2 \leq x \leq 3$

Таким образом, область определения функции $y = \sqrt{3x - 6} + \sqrt{9 - x^2}$ - это интервал [2, 3].