Question

Найдите область определения функции y = log0,5(x^2– 2 х – 3)

Answer 1

Решение на фоторафии....

Answer 2

Для определения области определения функции $y = \log_{0.5}(x^2 - 2x - 3)$ мы должны обратить внимание на то, в каких случаях аргумент логарифма является допустимым.

Логарифм с основанием $0.5$ определен только для положительных аргументов. Таким образом, мы должны найти значения $x$, для которых выражение $x^2 - 2x - 3$ положительно.

Рассмотрим квадратное уравнение $x^2 - 2x - 3 > 0$. Чтобы найти его корни, сначала найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16.$

Так как дискриминант положителен, у нас есть два действительных корня: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm 4}{2}.$

Отсюда получаем $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.

Теперь мы можем проверить знак выражения $x^2 - 2x - 3$ на интервалах между корнями и за пределами них:

1. При $x < -1$: Подставляя $x = -2$ (например), получаем $x^2 - 2x - 3 = 4 + 4 - 3 = 5 > 0$.
2. При $-1 < x < 3$: Подставляя $x = 0$ (например), получаем $x^2 - 2x - 3 = 0 - 0 - 3 = -3 < 0$.
3. При $x > 3$: Подставляя $x = 4$ (например), получаем $x^2 - 2x - 3 = 16 - 8 - 3 = 5 > 0$.

Таким образом, область определения функции $y = \log_{0.5}(x^2 - 2x - 3)$ будет интервал $(-1, 3)$.