Question

Найти значение параметра t, при котором векторы (4,1,-4),(5,-4,-1),(3,t,-7) линейно зависимы

Answer 1

Дано (это определитель)

9 -5 2

2 -8 t

-7 6 -10

Теперь обратите внимание. Нам надо упростить этот

определитель прежде, чем будем его вычислять.

переменная t находится во второй строке. Вот мы первый

столбец не трогаем. А ко второму столбцу прибавим первый

умноженный на 4. Чтобы получить в строке 2 один 0.

9 31 2

2 0 t

-7 -22 -10

Разложим этот определитель по второй строке

Далее

-2*(-310+44) -t(-198+217)=532 - 19t

Этот определитель должен быть равен 0

То есть 19t=532

t=28 (это ответ)

Answer 2

Ответ: ну если подумать то:

t=28

Answer 3

Векторы (4, 1, -4), (5, -4, -1) и (3, t, -7) будут линейно зависимыми, если существуют такие коэффициенты $c_1$, $c_2$ и $c_3$, не все равные нулю, что выполняется следующее уравнение:

$c_1 \cdot (4, 1, -4) + c_2 \cdot (5, -4, -1) + c_3 \cdot (3, t, -7) = (0, 0, 0).$

Раскроем это уравнение:

$(4c_1 + 5c_2 + 3c_3, c_1 - 4c_2 + tc_3, -4c_1 - c_2 - 7c_3) = (0, 0, 0).$

Это приводит к следующей системе уравнений:

$\begin{cases} 4c_1 + 5c_2 + 3c_3 = 0 \\ c_1 - 4c_2 + tc_3 = 0 \\ -4c_1 - c_2 - 7c_3 = 0 \end{cases}$

Для того чтобы система имела нетривиальное решение (т.е. решение отличное от $c_1 = c_2 = c_3 = 0$), её определитель должен быть равен нулю:

$\begin{vmatrix} 4 & 5 & 3 \\ 1 & -4 & t \\ -4 & -1 & -7 \end{vmatrix} = 0.$

Вычислим этот определитель:

$4((-4)(-7) - (-1)(-3)) - 5(1(-7) - (-4)(-3)) + 3(1(-1) - (-4)(-4)) = -28 - 29 + 47 = -10.$

Таким образом, уравнение $-10 = 0$ не имеет решений, и система уравнений не имеет нетривиального решения. Это означает, что векторы (4, 1, -4), (5, -4, -1) и (3, t, -7) линейно независимы для любого значения параметра $t$.