Question

Найти наибольшее значение и наименьшее значение функции Y=12x-xв кубе на отрезке -1; 3

Answer 1

y = 12x - x^3

y' = 12 - 3x^2

Отыщем точки экстремума, прировняв производную к нулю:

3x^2 = 12 <=> x^2 = 4 <=> x = {-2; 2}

На отрезок x = [-1;3] попадает точка x = 2:

..[-1.......2........3]......

От -1 до 2 производная положительная, значит функция возрастает, а от 2 до 3 убывает => x = 2 - точка максимума и функция принимает наибольшее значение в y(2) = 12 * 2 - 2 ^ 3 = 24 - 8 = 16.

Наименьшее будет на концах отрезка [-1;3]: y(-1) = -12 + 1 = -11; y(3) = 12 * 3 - 3^3 = 36 - 27 = N > -11 => -11 - наименьшее значение.

Ответ: y(min) = -11; y(max) = 16

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции Y = 12x - x^3 на отрезке [-1, 3], следует выполнить следующие шаги:

1. Найдите производную функции Y по x.
2. Решите уравнение производной функции, чтобы найти критические точки.
3. Определите, какие из критических точек являются локальными максимумами или минимумами, а также рассмотрите значения функции на граничных точках интервала.

Шаг 1: Найдем производную функции Y по x:

Y'(x) = d/dx [12x - x^3] = 12 - 3x^2.

Шаг 2: Решим уравнение Y'(x) = 0, чтобы найти критические точки:

12 - 3x^2 = 0 3x^2 = 12 x^2 = 4 x = ±2.

Итак, у нас есть две критические точки: x = -2 и x = 2.

Шаг 3: Теперь определим, какие из этих критических точек являются локальными максимумами или минимумами. Для этого используем вторую производную:

Y''(x) = d^2/dx^2 [12 - 3x^2] = -6x.

Теперь вычислим значения Y''(x) в критических точках:

1. Для x = -2: Y''(-2) = -6 * (-2) = 12. Это положительное значение, что указывает на локальный минимум.
2. Для x = 2: Y''(2) = -6 * 2 = -12. Это отрицательное значение, что указывает на локальный максимум.

Теперь осталось вычислить значения функции Y в этих точках и на граничных точках интервала:

1. Y(-2) = 12 * (-2) - (-2)^3 = -24 - (-8) = -16.
2. Y(2) = 12 * 2 - 2^3 = 24 - 8 = 16.
3. Y(-1) = 12 * (-1) - (-1)^3 = -12 + 1 = -11.
4. Y(3) = 12 * 3 - 3^3 = 36 - 27 = 9.

Таким образом, наименьшее значение функции на интервале [-1, 3] равно -16 и достигается при x = -2, а наибольшее значение равно 16 и достигается при x = 2.