Question

Решите пожалуйста диференциальное уравнение!! Очень надо. С объяснением решения у’=(3sin7x-x)(y^2+1)

Answer 1

Ответ:

$y'= \frac{3 \sin(7x) - x}{ {y}^{2} + 1} \\ \frac{dy}{dx} = \frac{3 \sin(7x) - x}{ {y}^{2} + 1} \\ \int\limits( {y}^{2} + 1)dy = \int\limits(3 \sin(7x) - x)dx \\ \frac{ {y}^{3} }{3} + y = \frac{3}{7} \int\limits \sin(7x) d(7x) - \int\limits \: xdx + c \\ \frac{ {y}^{3} }{3} + y = - \frac{3}{7} \cos(7x) - \frac{ {x}^{2} }{2} + c$

общее решение

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения с разделяющимися переменными, вы можете использовать следующий подход:

Уравнение имеет вид:

dy/dx = (3sin(7x) - x)(y^2 + 1)

Разделяя переменные, мы можем выразить y и x на разные стороны уравнения:

dy / (y^2 + 1) = (3sin(7x) - x)dx

Теперь проинтегрируем обе стороны:

∫(1 / (y^2 + 1)) dy = ∫(3sin(7x) - x) dx

Для левой стороны уравнения используем замену переменной. Пусть z = y^2 + 1, тогда dz = 2y dy:

(1/2)∫(1 / z) dz = ∫(3sin(7x) - x) dx

(1/2)ln|z| = -3/7cos(7x) - (1/2)x + C1

Теперь возвращаемся к переменной y:

ln|y^2 + 1| = -6/7cos(7x) - x + C2

Где C1 и C2 - константы интегрирования. Мы можем объединить их в одну константу C:

ln|y^2 + 1| = -6/7cos(7x) - x + C

Чтобы избавиться от логарифма, примените экспоненциальную функцию:

|y^2 + 1| = e^(C) * e^(-6/7cos(7x) - x)

Поскольку e^C является константой, обозначим ее за A:

|y^2 + 1| = A * e^(-6/7cos(7x) - x)

Теперь учтем абсолютное значение. Это даст нам два случая:

1. y^2 + 1 = A * e^(-6/7cos(7x) - x)

2. y^2 + 1 = -A * e^(-6/7cos(7x) - x)

Оба этих уравнения могут быть решены для y. Важно помнить, что A - это произвольная константа.