Question

Решите уравнение e^y lnхdx+ xydy= 0

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии

Answer 2

Данное уравнение является дифференциальным уравнением первого порядка и может быть решено методом разделяющих переменных. Давайте начнем с его решения.

Уравнение:

e^y * ln(x) dx + x * y dy = 0

Давайте разделим переменные, переместив все слагаемые, содержащие x, на одну сторону, а все слагаемые, содержащие y, на другую сторону:

e^y * ln(x) dx = -x * y dy

Теперь давайте разделим обе стороны на соответствующие переменные:

(e^y * ln(x)) / x dx = -y dy

Теперь мы можем интегрировать обе стороны:

∫(e^y * ln(x) / x) dx = -∫y dy

Для левой стороны мы можем воспользоваться интеграцией по частям:

∫(e^y * ln(x) / x) dx = -e^y * ln(x) - ∫(-e^y * 1/x * -x) dx

∫(e^y * ln(x) / x) dx = -e^y * ln(x) + ∫e^y dy

Теперь продолжим интегрировать:

∫e^y dy = e^y

Таким образом, уравнение принимает следующий вид:

-e^y * ln(x) + e^y = -y + C

где C - произвольная постоянная.

Мы получили интегральное уравнение. Если у вас есть начальное условие (например, y(x₀) = y₀), то вы можете найти значение константы C, подставив это условие в уравнение. В противном случае это уравнение описывает семейство решений.