Question

Знайти проміжки зростання і спадання функції y=x-x^5

Answer 1

x1=0, x2=1

это ответ на уравнение

Answer 2

Для знаходження проміжків зростання і спадання функції y = x - x^5 спершу треба знайти похідну цієї функції та визначити її знаки на різних інтервалах.

Похідна функції y = x - x^5 обчислюється за правилами диференціювання:

y' = 1 - 5x^4.

Тепер визначимо, де похідна дорівнює нулю, тобто де вона має мінімуми та максимуми:

1 - 5x^4 = 0.

Розв'яжемо це рівняння для x:

5x^4 = 1, x^4 = 1/5, x = ±(1/5)^(1/4).

Отже, ми маємо дві точки, де похідна дорівнює нулю: x = (1/5)^(1/4) та x = -(1/5)^(1/4).

Тепер розглянемо інтервали між цими точками та поза ними. Для цього виберемо тестову точку в кожному інтервалі і визначимо знак похідної в цих точках.

1. Для x < -(1/5)^(1/4) обираємо x = -1: y' = 1 - 5(-1)^4 = 1 - 5 = -4. Похідна від'ємна, отже, функція спадає на цьому інтервалі.

2. Для -(1/5)^(1/4) < x < (1/5)^(1/4) обираємо x = 0: y' = 1 - 5(0)^4 = 1. Похідна додатня, отже, функція зростає на цьому інтервалі.

3. Для x > (1/5)^(1/4) обираємо x = 1: y' = 1 - 5(1)^4 = 1 - 5 = -4. Похідна від'ємна, отже, функція спадає на цьому інтервалі.

Отже, ми маємо такі проміжки зростання і спадання:

• Функція зростає на інтервалі: -(1/5)^(1/4) < x < (1/5)^(1/4).
• Функція спадає на інтервалах: x < -(1/5)^(1/4) та x > (1/5)^(1/4).