Question

прямая 5x-12y+4=0 касательная к окружности с центром в точке (2;-1). Составьте уравнение этой окружности.

Answer 1

Ответ:

уравнение окружности   (х -2)² + (у +1)² = 4  

Пошаговое объяснение:

Формула для окружности с центром в точке (х₀; у₀)

(х -х₀)² + (у -у₀)² = R²

Центр окружности у нас есть (2; -1)

(х -2)² + (у +1)² = R²  - это будущее уравнение окружности.

Оно превратится в полноправное уравнение окружности, как тоkько мы найдем  R, т.е. расстояние от центра окружности до прямой.

Формула для вычисления расстояния от точки (x₀; y₀) до прямой

ax + by + c = 0:

$\displaystyle d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2} }$

Это и будет наш радиус.

$\displaystyle R=\frac{|5 *2+(-12)*(-1)+4|}{\sqrt{5^2+(-12)^2} }=\frac{10+12+4}{\sqrt{25+144} }=\frac{26}{13} =2$

И теперь мы можем записать уравнение окружности

(х -2)² + (у +1)² = 4  

Для проверки сделаем чертеж.

Answer 2

Для того чтобы найти уравнение окружности с центром в точке (2, -1), касающейся прямой 5x - 12y + 4 = 0, мы можем использовать следующие шаги:

1. Найдем расстояние от центра окружности до прямой. Это расстояние будет равно радиусу окружности.

2. Затем, используя центр окружности и найденный радиус, мы можем записать уравнение окружности в следующем виде:

$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2,$

где (h, k) - координаты центра окружности, а r - радиус окружности.

Давайте начнем с первого шага и найдем расстояние от центра окружности до прямой 5x - 12y + 4 = 0.

Расстояние $d$ от точки $(x_0, y_0)$ до прямой $Ax + By + C = 0$ вычисляется по формуле:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}.$

В данном случае:

• $A = 5$,
• $B = -12$,
• $C = 4$,
• $x_0 = 2$ (координата x центра окружности),
• $y_0 = -1$ (координата y центра окружности).

Подставляем значения в формулу и находим расстояние $d$:

$d = \frac{|5 \cdot 2 - 12 \cdot (-1) + 4|}{\sqrt{5^2 + (-12)^2}} = \frac{|10 + 12 + 4|}{\sqrt{25 + 144}} = \frac{|26|}{\sqrt{169}} = \frac{26}{13}.$

Теперь мы знаем, что радиус окружности $r$ равен $\frac{26}{13}$.

Теперь мы можем записать уравнение окружности:

$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = \left(\frac{26}{13}\right)^2.$

Итак, уравнение окружности с центром в точке (2, -1), касающейся прямой 5x - 12y + 4 = 0, имеет вид:

$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = \left(\frac{26}{13}\right)^2.$