Question

Составьте уравнение касательной к графику функции f(x) = √(x^2 - 3), проходящей через точку А(1;-1) Помогите, пожалуйста, решить

Answer 1

Составьте уравнение касательной к графику функции f(x) = √(x² - 3), проходящей через точку А(1;-1)

Пошаговое объяснение:

Пусть х₀-точка касания графика и прямой. Уравнение касательной  

y = f ’(x₀) • (x − x₀) + f (x₀)    .

f (x₀) =√(x₀² - 3),

f ’(x)= $\frac{2x}{2*\sqrt{x^{2}-3 } }$  , f ’(x₀)= $\frac{x_0}{\sqrt{x_0^{2}-3 } }$  

y =  $\frac{x_0}{\sqrt{x_0^{2}-3 } }$ * (x − x₀) + √(x₀² - 3) . Точка  А(1;-1) принадлежит этой касательной , значит ее координаты удовлетворяют этому уравнению

-1 = $\frac{x_0}{\sqrt{x_0^{2}-3 } }$ * (1 − x₀) + √(x₀² - 3)

$-1=\frac{x_0(1 -x_0)}{\sqrt{x_0^{2}-3 } }+\frac{\sqrt{x_0^{2} -3} }{1} | *\sqrt{x_0^{2} -3 }$

-1*√(x²₀-3) =x₀(1-x₀)+(x₀²-3)

-1*√(x²₀-3) =x₀-x₀²+x₀²-3  ,     -1*√(x²₀-3) =x₀ -3 ,    3- x₀ =√(x²₀-3),

(3- x₀)² =x²₀-3      ,  9-6x₀ +x₀²= x²₀-3     , x₀=2

Тогда f ’(2)= $\frac{2}{\sqrt{2^{2}-3 } }=2$  ,  f (2) =√(2² - 3) =1.

y = 2 • (x − 2) +1  или  у=2х-3   .

Answer 2

Чтобы найти уравнение касательной к графику функции $f(x) = \sqrt{x^2 - 3}$, проходящей через точку $A(1, -1)$, нам понадобится найти производную функции и затем использовать её для построения уравнения касательной.

1. Найдем производную функции $f(x)$:

$f(x) = \sqrt{x^2 - 3}$

Используем цепное правило (chain rule) для нахождения производной:

$f'(x) = \frac{d}{dx} \sqrt{x^2 - 3} = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 3}} \cdot \frac{d}{dx}(x^2 - 3)$

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 3}} \cdot (2x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 3}}$

2. Теперь мы знаем производную функции. Чтобы найти уравнение касательной, мы можем использовать формулу точки-касательной:

$y - y_1 = f'(x_1)(x - x_1)$

где $(x_1, y_1)$ - это координаты точки $A(1, -1)$.

Подставим значения в уравнение:

$y - (-1) = \frac{1}{\sqrt{1^2 - 3}}(x - 1)$

Упростим выражение:

$y + 1 = \frac{1}{\sqrt{1 - 3}}(x - 1)$

$y + 1 = \frac{1}{\sqrt{-2}}(x - 1)$

Теперь, чтобы избавиться от корня в знаменателе, мы можем умножить и разделить на $\sqrt{2}$:

$y + 1 = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}(x - 1)$

$y + 1 = \frac{1}{2\sqrt{2}}(x - 1)$

Теперь у нас есть уравнение касательной:

$y = \frac{1}{2\sqrt{2}}(x - 1) - 1$

Это уравнение описывает касательную линию к графику функции $f(x)$, проходящую через точку $A(1, -1)$.