Question

Дано уравнение y'+y=e^x. Найдите интегральную кривую данного уравнения, проходящую через точку (0; 2)

Answer 1

Ответ:

$y'+y=e^{x}\\\\y=uv\ \ ,\ \ y'=u'v+uv'\\\\u'v+uv'+uv=e^{x}\ \ ,\ \ \ u'v+u\, (v'+v)=e^{x}\\\\\\a)\ \ v'+v=0\ \ ,\ \ \displaystyle \int \frac{dv}{v}=-\int dx\ \ ,\ \ \ ln|v|=-x\ \ ,\ \ \underline{\ v=e^{-x}\ }\\\\\\b)\ \ u'\cdot e^{-x}=e^{x}\ \ ,\ \ \ \int du=\int \frac{e^{x}}{e^{-x}}\, dx\ \ ,\ \ \int du=\int e^{2x}\, dx\ \ ,\\\\\\u=\frac{1}{2}\, e^{2x}+\frac{C}{2}=\frac{1}{2}\cdot (e^{2x}+C)\\\\\\c)\ \ y=\frac{1}{2}\, e^{-x}\cdot (e^{2x}+C)=\frac{1}{2e^{x}}\cdot (e^{2x}+C)$

$d)\ \ M(0;2):\ \ 2=\dfrac{1}{2e^0}\cdot (e^0+C)\ \ ,\ \ \ 2=\dfrac{1}{2}\cdot (1+C)\ \ ,\ \ 1+C=4\ ,\ C=3\ ,\\\\\\\boxed{\ y_{chastn.}=\dfrac{1}{2e^{x}}\cdot (e^{2x}+3)\ }$

Answer 2

Для решения дифференциального уравнения $y' + y = e^x$ и нахождения интегральной кривой, проходящей через точку $(0, 2)$, мы можем использовать метод интегрирования разделяющихся переменных.

Сначала преобразуем уравнение:

$y' + y = e^x$

Теперь разделим переменные, переместив все члены, содержащие $y$, на одну сторону и все члены, содержащие $x$, на другую сторону:

$y' + y = e^x \implies y' = e^x - y$

Теперь мы можем приступить к решению этого уравнения с помощью метода разделения переменных. Разделим $dy$ и $dx$ и перенесем члены с $y$ на одну сторону и члены с $x$ на другую сторону:

$\frac{dy}{dx} = e^x - y$

Теперь интегрируем обе стороны уравнения. Интеграл слева будет $\int dy$, а справа будет $\int (e^x - y) dx$:

$dy = (e^x - y) dx$

Интегрируя, получим:

$y = -e^x + \int e^x dx + C$

Интеграл $\int e^x dx$ равен $e^x$, и мы можем записать:

$y = -e^x + e^x + C$

Теперь у нас есть общее решение дифференциального уравнения, выраженное в виде:

$y = C$

Чтобы найти конкретное решение, проходящее через точку $(0, 2)$, подставим эти значения в уравнение:

$2 = C$

Таким образом, интегральная кривая, проходящая через точку $(0, 2)$, имеет вид $y = 2$.

Answer 3

Для нахождения интегральной кривой уравнения y' + y = e^x, проходящей через точку (0, 2), мы можем воспользоваться методом разделения переменных. Сначала выразим уравнение в следующем виде:

y' + y = e^x

Выразим y' и разделим обе стороны на e^x:

y' = e^x - y

Теперь давайте разделим переменные, переместив все, что связано с y, на одну сторону уравнения, а все, что связано с x, на другую сторону:

dy/dx + y = e^x

Теперь мы можем воспользоваться методом разделения переменных:

dy/dx = e^x - y

dy / (e^x - y) = dx

Теперь проинтегрируем обе стороны:

∫(1 / (e^x - y)) dy = ∫ dx

Для интегрирования левой стороны вы можете воспользоваться методом частных дробей. Разложим дробь на простейшие:

1 / (e^x - y) = A / (e^x - y)

A(e^x - y) = 1

A = 1 / (e^x - y)

Теперь мы можем проинтегрировать обе стороны:

∫(1 / (e^x - y)) dy = ∫ dx

∫(1 / (e^x - y)) dy = ∫ dx

∫(1 / (e^x - y)) dy = x + C

Теперь мы можем решить этот интеграл. Для удобства заметим, что e^x - y = e^x - 2 - (y - 2). Тогда интеграл становится:

∫(1 / (e^x - y)) dy = ∫(1 / (e^x - 2 - (y - 2))) dy

Для упрощения интеграла сделаем замену переменной: u = e^x - 2 - (y - 2), и соответственно, du = -dy.

Интеграл становится:

-∫(1 / u) du = x + C

Интегрируя, получим:

• ln|u| = x + C

Теперь вернемся к переменным y и x:

• ln|e^x - 2 - (y - 2)| = x + C

Теперь мы можем решить это уравнение относительно y, используя начальное условие (0, 2), чтобы найти константу C:

• ln|e^0 - 2 - (2 - 2)| = 0 + C

• ln|1 - 2 - 0| = C

• ln|-1| = C

C = ln(1) = 0

Таким образом, наше уравнение выглядит следующим образом:

• ln|e^x - 2 - (y - 2)| = x

Теперь мы можем избавиться от логарифма, возводя обе стороны уравнения в экспоненту:

|e^x - 2 - (y - 2)| = e^x

Теперь можно убрать модуль:

e^x - 2 - (y - 2) = e^x

Теперь давайте решим это уравнение относительно y:

y - 2 = -2

y = 0 + 2 = 2

Таким образом, интегральная кривая, проходящая через точку (0, 2), задается уравнением:

y = 2