Question

Упростить выражение √5-√3/√5+√3-√5+√3/√5-√3

Answer 1

Ответ:

$-2\sqrt{15}$

Пошаговое объяснение:

Нужно упростить

$\dfrac{\sqrt5-\sqrt3}{\sqrt5+\sqrt3}-\dfrac{\sqrt5+\sqrt3}{\sqrt5-\sqrt3}$

Сначала избавимся от корней в знаменателе, для этого домножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. При этом в знаменателе образуется разность квадратов. Значение дроби при этом не изменится:

$\dfrac{\sqrt5-\sqrt3}{\sqrt5+\sqrt3}=\dfrac{(\sqrt5-\sqrt3)^2}{(\sqrt5+\sqrt3)(\sqrt5-\sqrt3)}=\dfrac{(\sqrt5-\sqrt3)^2}{5-3}=\dfrac{(\sqrt5-\sqrt3)^2}{2}$

$\dfrac{\sqrt5+\sqrt3}{\sqrt5-\sqrt3}=\dfrac{(\sqrt5+\sqrt3)^2}{(\sqrt5-\sqrt3)(\sqrt5+\sqrt3)}=\dfrac{(\sqrt5+\sqrt3)^2}{5-3}=\dfrac{(\sqrt5+\sqrt3)^2}{2}$

$\dfrac{(\sqrt5-\sqrt3)^2}{2}-\dfrac{(\sqrt5+\sqrt3)^2}{2}=\dfrac{(\sqrt5-\sqrt3)^2-(\sqrt5+\sqrt3)^2}2=\\=\dfrac{(5-2\sqrt{15}+3)-(5+2\sqrt{15}+3)}2=\dfrac{-4\sqrt{15}}2=-2\sqrt{15}$

Answer 2

Чтобы упростить это выражение, мы можем воспользоваться методом рационализации. Для этого умножим числитель и знаменатель на сопряженные выражения дробей, чтобы избавиться от корней в знаменателе:

$$\frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3} - \sqrt{5} + \sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{5} - \sqrt{3})^2}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{5 - 2\sqrt{15} + 3}{5 - 3} = \frac{8 - 2\sqrt{15}}{2} = 4 - \sqrt{15}$$

Таким образом, упрощенное выражение равно $4 - \sqrt{15}$.