Question

Точка дотику кола, вписаного в прямокутний трикутник, ділить його гіпотенузу на відрізки 8 см і 12 см. Знайдіть периметр трикутника.​

Answer 1

Відповідь: 48см

Надіюсь зрозумієш, що написано)

Answer 2

Давайте позначимо дані:

• Нехай ABC - прямокутний трикутник, де C - прямий кут.
• Нехай I - центр вписаного кола, і точка дотику цього кола зі стороною AB ділить її на два відрізки: AI = 8 см і IB = 12 см.
• Радіус вписаного кола позначимо r.

Знаючи, що точка дотику кола зі стороною трикутника є точкою дотику вписаного кола, ми можемо скористатися властивістю вписаних кутів. Кут між стороною трикутника і радіусом вписаного кола є прямим кутом. Таким чином, ми маємо наступний відомий відносно I трикутник:

• Трикутник AIC - прямокутний трикутник зі стороною AI, радіусом r і однією стороною кола IC.

Застосуємо теорему Піфагора до цього трикутника:

(AC)² = (AI)² + (IC)² (AC)² = (8 см)² + r²

Також маємо подібний трикутник великому прямокутному трикутнику ABC. Великий прямокутний трикутник подібний до трикутника AIC, і ми можемо використовувати подібність для виразу сторони AC через сторону AB.

(AC) / (AB) = (AI + IC) / AI (AC) / (AB) = (8 см + r) / 8 см

Тепер ми можемо об'єднати обидва рівняння та вирішити їх систему. Після підстановки відомих значень:

(8 см)² + r² = (8 см + r) * (AB)

Розв'яжемо це рівняння відносно r:

64 см² + r² = 8 см * AB + r * AB r² - r * AB + 64 см² = 0

Тепер ми можемо використовувати квадратне рівняння для обчислення значення r:

Дискримінант (D) = (AB)² - 4 * (1) * (64 см²) D = (AB)² - 256 см²

Так як ми знаємо, що AB = 8 см + 12 см = 20 см, підставимо це значення:

D = (20 см)² - 256 см² D = 400 см² - 256 см² D = 144 см²

Тепер знайдемо r, використовуючи квадратне рівняння:

r = [ -(-AB) ± √D ] / (2 * 1) r = (20 см ± √144 см²) / 2 r = (20 см ± 12 см) / 2

r може мати два значення: r₁ = 16 см та r₂ = 4 см.

Отже, у нас є два можливих значення радіуса вписаного кола, але тільки одне з них може бути правильним.

Якщо r = 4 см, то коло вписане в трикутник, і ми можемо знайти периметр трикутника за допомогою Pythagorean theorem.

AB = 8 см + 12 см + 2 * 4 см = 28 см AC = 8 см + 2 * 4 см = 16 см BC = 12 см + 2 * 4 см = 20 см

Периметр трикутника ABC: P = AB + AC + BC = 28 см + 16 см + 20 см = 64 см

Отже, периметр трикутника дорівнює 64 см.