Question

Под каким острым углом пересекаются прямые у=√3 х+3 и у=-х+2

Answer 1

Ответ:         φ = arctg ( √3 + 2 ) .

Пошаговое объяснение:

у=√3 х+3   і   у= - х+2 - дві лін . функції . Кут між прямими , які

задаються даними рівняннями , знайдемо за формулою :

tgφ =│( k₁ - k₂)/( 1 + k₁k₂ )│.

k₁ = √3 ;   k₂ = - 1 ;  тоді    tgφ =│(√3 + 1 )/( 1 - √3 )│ = │(√3 + 1 )/(√3 - 1 )│=

= (√3 + 1 )/(√3 - 1 ) =(√3 + 1 )²/ [(√3)² - 1² ] = ( 3 + 2√3 + 1 )/ ( 3 - 1 ) =

= ( 2√3 + 4 )/2 = √3 + 2 ;       tgφ = √3 + 2 ;   φ = arctg ( √3 + 2 ) .

Answer 2

Для определения угла между двумя прямыми, вы можете воспользоваться формулой для нахождения угла между двумя прямыми в декартовой системе координат:

$\tan(\theta) = \frac{{\left| m_2 - m_1 \right|}}{{1 + m_1 \cdot m_2}}$

где $m_1$ и $m_2$ - это наклоны (коэффициенты наклона) данных прямых. Ваша первая прямая имеет уравнение $y = \sqrt{3}x + 3$, поэтому $m_1 = \sqrt{3}$. Вторая прямая имеет уравнение $y = -x + 2$, так что $m_2 = -1$.

Подставим значения в формулу:

$\tan(\theta) = \frac{{\left| -1 - \sqrt{3} \right|}}{{1 + (-1) \cdot \sqrt{3}}}$

$\tan(\theta) = \frac{{\left| -1 - \sqrt{3} \right|}}{{1 - \sqrt{3}}}$

$\tan(\theta) = \frac{{\left| -1 - \sqrt{3} \right|}}{{1 - \sqrt{3}}}$

$\tan(\theta) = \frac{{\left| -1 - \sqrt{3} \right|}}{{1 - \sqrt{3}}}$

Чтобы выразить ответ точнее, давайте упростим числитель и знаменатель:

$\tan(\theta) = \frac{{\left| -1 - \sqrt{3} \right|}}{{1 - \sqrt{3}}} \times \frac{{1 + \sqrt{3}}}{{1 + \sqrt{3}}}$

$\tan(\theta) = \frac{{-2 - \sqrt{3} - 3\sqrt{3} - 3}}{{1 - 3}}$

$\tan(\theta) = \frac{{-2 - 4\sqrt{3}}}{{-2}}$

$\tan(\theta) = 2 + 2\sqrt{3}$

Теперь найдем угол, соответствующий этому значению тангенса, используя арктангенс:

$\theta = \arctan(2 + 2\sqrt{3})$

$\theta \approx 75.96^\circ$

Таким образом, прямые пересекаются под углом примерно $75.96^\circ$.