Question

Возвести в степень по формуле Муавра (1-√3i)^6​

Answer 1

Ответ:

64

Пошаговое объяснение:

Для решения применяем формулу Муавра

$z=1-\sqrt{3}i\\\\a=1;\; b=-\sqrt{3} \\\\|z|=\sqrt{1^2+(-\sqrt{3})^2}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2\\\\cos\alpha =\frac{a}{|z|} ;\; sin\alpha =\frac{b}{|z|}\\\\cos\alpha =\frac{1}{2};\; sin\alpha =\frac{-\sqrt{3}}{2}\; =>\alpha =\frac{-\pi}{3}\\\\z=2(cos(-\frac{\pi}{3})+isin(-\frac{\pi}{3}))=2(cos\frac{\pi}{3}-isin\frac{\pi}{3})\\\\z^6=|z|^n(cos\alpha n+isin\alpha n)\\\\(1-\sqrt{3}i)^6=2^6(cos\frac{\pi *6}{3}-isin\frac{\pi *6}{3})=\\\\=64(cos2\pi-isin2\pi)=64(1-i*0)=64$              

Answer 2

Для возведения числа в степень с помощью формулы Муавра, мы сначала должны представить число в тригонометрической форме. Затем мы можем использовать формулу Муавра для возведения в степень.

Шаг 1: Представление числа в тригонометрической форме Для числа (1-√3i), мы можем записать его в тригонометрической форме следующим образом:

z = r(cosθ + isinθ)

Где r - модуль числа, а θ - аргумент числа. Для нашего числа (1-√3i), мы можем вычислить модуль и аргумент следующим образом:

Модуль (r):

r = √(1^2 + (-√3)^2) = √(1 + 3) = √4 = 2

Аргумент (θ):

θ = arctan(-√3/1) = arctan(-√3) ≈ -π/3

Таким образом, мы можем записать число (1-√3i) в тригонометрической форме следующим образом:

z = 2(cos(-π/3) + isin(-π/3))

Шаг 2: Возведение в степень с помощью формулы Муавра Теперь, когда мы представили число в тригонометрической форме, мы можем использовать формулу Муавра для возведения в степень. Формула Муавра выглядит следующим образом:

z^n = r^n (cos(nθ) + isin(nθ))

Для нашего числа (1-√3i), мы хотим возвести его в степень 6. Подставляя значения в формулу Муавра, мы получаем:

z^6 = 2^6 (cos(6(-π/3)) + isin(6(-π/3)))

Упрощая выражение, мы получаем:

z^6 = 64 (cos(-2π) + isin(-2π))

Так как cos(-2π) = 1 и sin(-2π) = 0, мы можем дальше упростить выражение:

z^6 = 64 (1 + i0)

Итак, число (1-√3i) в степени 6 равно 64.

Ответ: 64