Question

(x+y)dx+xdy=0 решить ду

Answer 1

Проверим, не является ли данное выражение P*dx+Q*dy, где P=x+y и Q=x, полным дифференциалом некоторой функции u(x,y). Для того, чтобы это было так, должно выполняться условие dp/dy=dQ/dx. В нашем случае dP/dy=1 и dQ/dx=1, так что P*dx+Q*dy=du=0, откуда u=const. Это выражение и будет интегралом уравнения, остаётся лишь найти функцию u(x,y). Так как dy=du/dx*dx+du/dy*dy=P*dx+Q*dy, то из этого равенства следуют два: 

du/dx=P=x+y,
du/dy=Q=x

Интегрируя первое уравнение, находим u(x,y)=∫x*dx+y*∫dx=x²/2+x*y+f(y), где f(y) - неизвестная пока функция. Дифференцируя теперь это равенство по y, получаем du/dy=x+f'(y)=Q=x, откуда f'(y)=0. Тогда f(y)=∫f'(y)*dy=0+C1=C1, где C1=const. Тогда окончательно u(x,y)=x²/2+x*y+C1=const, или, обозначая const-C1=C, u(x,y)=x²/2+x*y=C. Ответ: x²/2+x*y=C,