Question

При каком наименьшем натуральном n число (n-1)(n-2)(n-3)(n-4) натурально и оканчивается тремя нулями?

Answer 1

Ответ:n=1004

Пошаговое объяснение: (1004-1)(1004-2)(1004-3)(1004-4)=1006011006000

Answer 2

Ответ: 376

Пошаговое объяснение: -

Answer 3

Чтобы число \( (n-1)(n-2)(n-3)(n-4) \) оканчивалось тройкой нулей, это означает, что оно делится на \( 10^3 \) или, другими словами, на \( 2^3 \cdot 5^3 \).

Чтобы определить, при каком наименьшем натуральном \( n \) это происходит, рассмотрим, какие множители \( 2 \) и \( 5 \) содержит произведение \( (n-1)(n-2)(n-3)(n-4) \).

Когда мы рассматриваем произведение последовательных чисел, для получения трех нулей в конце нужно иметь хотя бы три множителя \( 5 \) и, по крайней мере, три множителя \( 2 \), чтобы получить \( 2^3 \cdot 5^3 \).

Определим, сколько множителей \( 5 \) и \( 2 \) содержится в произведении \( (n-1)(n-2)(n-3)(n-4) \).

Множители \( 5 \) будут присутствовать в числах, которые делятся на \( 5 \) или \( 10 \). В последовательности натуральных чисел, каждое пятое число делится на \( 5 \). Поэтому, из \( n-1 \), \( n-2 \), \( n-3 \) и \( n-4 \), хотя бы одно число из каждой группы по крайней мере будет делиться на \( 5 \).

Множители \( 2 \) будут присутствовать в каждом четном числе. В четырех последовательных натуральных числах хотя бы два будут четными. Поэтому, в произведении \( (n-1)(n-2)(n-3)(n-4) \) хотя бы два числа будут делиться на \( 2 \).

Таким образом, у нас есть достаточное количество множителей \( 2 \) и \( 5 \) в произведении \( (n-1)(n-2)(n-3)(n-4) \), чтобы получить \( 2^3 \cdot 5^3 \), когда \( n \) равно минимально возможному значению, которое удовлетворяет этому условию.

Следовательно, наименьшее натуральное число \( n \), при котором произведение \( (n-1)(n-2)(n-3)(n-4) \) оканчивается тройкой нулей, это число, где каждое из \( n-1 \), \( n-2 \), \( n-3 \) и \( n-4 \) делится на \( 5 \) и по крайней мере два из них четные.

Например, если начать с числа \( 5 \), \( 6 \), \( 7 \), \( 8 \), то \( 5 \), \( 6 \), \( 7 \) - нечетные, и только \( 8 \) делится на \( 2 \). Значит, при \( n = 8 \) выполнено условие, и \( (8-1)(8-2)(8-3)(8-4) = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \) оканчивается тройкой нулей.