Question

ПОМОГИТЕ Даны точки А, В, С. Найти: а) уравнение и длину ВС; 6) уравнение высоты АД, в) уравнение прямой, проходящей через точку А параллельно ВС; г) уравнение прямой, соединяющей середины сторон АВ и ВС; д) угол А треугольника АВС. А(2,2) В(3,2) С(4,0)

Answer 1

Даны точки А(2,2), В(3,2), С(4,0).

Найти:

а) уравнение и длину ВС.

Вектор ВС = (4-3; 0 -2) = (1; -2). Модуль равен √(1² + (-2)²) = √5.

Уравнение ВС: (х - 2)/1 = (у - 2)/(-2).

или в общем виде 2x + у - 6 = 0.

б) уравнение высоты АД.

Высота АД перпендикулярна стороне ВС: 2x + у - 6 = 0

Её уравнение имеет вид х - 2у + С = 0 (коэффициенты А и В из уравнение стороны АВ меняются на В и -А. чтобы их скалярное произведение было равно нулю).

Для определения величины С подставим координаты точки А(2;2).

АД: 1*2 + 2*2 + С = 0, отсюда С = -2 - 4 = -6.

АД: х - 2у - 6 = 0.

в) уравнение прямой, проходящей через точку А параллельно ВС.

Так как заданная прямая (назовём её АК) - параллельна ВС: 2x + у - 6 = 0, то у неё сохраняются коэффициенты при переменных.

АК: 2х + у + С = 0.

Для определения величины С подставим координаты точки А(2;2).

АК: 2*2 + 1*2 + С = 0, отсюда С = -4 - 2 = -6.

АК: 2х + у - 6 = 0.

г) уравнение прямой, соединяющей середины сторон АВ и ВС.

Это будет средняя линия (назовём её ДЕ) треугольника, параллельная стороне АС.

Находим координаты точки Д, являющейся серединой стороны АВ.

Д = (А(2; 2) + В(3; 2))/2 = (2,5; 2).

Коэффициенты А и В общего уравнения ДЕ сохраняются такими же, как и у стороны АС. Находим уравнение стороны АС.

Точки А(2; 2) и С(4; 0).

Вектор АС = (4-2; 0-2) = (2; -2).

Уравнение АС: (х - 2)/2 = (у - 2)/(-2) или в общем виде

x + y – 4 = 0.

Тогда параллельная прямая ДЕ имеет вид x + y + С = 0.

Для определения параметра С подставим координаты точки Д(2,5; 2):

1*2,5 + 1*2 + С = 0, отсюда С = -2,5 - 2 = -4,5.

Уравнение ДЕ: х + у – 4,5 = 0 или в целых числах 2x + 2y – 9 = 0.

д) угол А треугольника АВС.

Вектор АВ = (3-2; 2-2) = (1; 0), модуль равен 1.

Вектор АС = (2; -2 ), модуль равен √8 = 2√2.

cos B = (1*2 + 0*(-2)) / (1*2√2) = 2 / (2*√2) = 1/√2 = √2/2.

B = arc cos(√2/2) =  45 градусов.

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся формулами и свойствами геометрии.

а) Найдем уравнение прямой ВС. Для этого найдем коэффициент наклона прямой и подставим точку B в уравнение прямой. Коэффициент наклона k вычисляется по формуле: k = (y2 - y1) / (x2 - x1), где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек B и С соответственно. k = (0 - 2) / (4 - 3) = -2

Зная коэффициент наклона и одну точку на прямой, можно записать ее уравнение в виде y = kx + b, где b - значение y при x = 0. Используя точку B(3,2) и найденный коэффициент наклона k = -2, получим уравнение прямой ВС: y = -2x + b 2 = -2*3 + b 2 = -6 + b b = 8

Таким образом, уравнение прямой ВС: y = -2x + 8.

Длина ВС вычисляется по формуле расстояния между двумя точками: d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²), где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек В и С соответственно. d = √((4 - 3)² + (0 - 2)²) d = √(1 + 4) d = √5

Длина ВС равна √5.

б) Высота АД является высотой треугольника АВС, опущеным на сторону АВ. Мы знаем координаты точек А(2,2), В(3,2) и С(4,0).

Для нахождения уравнения высоты АД найдем сначала уравнение прямой АВ. Мы уже нашли его в предыдущем пункте: y = -2x + 8.

Высота АД будет перпендикулярна стороне АВ и проходить через вершину А. Значит, коэффициент наклона уравнения прямой АД будет обратным и противоположным коэффициенту наклона прямой АВ. Используем k = 1/2.

Подставим точку А(2,2) в уравнение прямой АД и найдем b: 2 = (1/2)*2 + b 2 = 1 + b b = 1

Таким образом, уравнение прямой АД: y = (1/2)x + 1.

в) Чтобы найти уравнение прямой, проходящей через точку А и параллельной стороне ВС, берем коэффициент наклона k, равный коэффициенту наклона стороны ВС, равному -2.

Подставим точку А(2,2) в уравнение прямой и найдем b: 2 = -2*2 + b 2 = -4 + b b = 6

Уравнение прямой, проходящей через точку А и параллельной ВС: y = -2x + 6.

г) Середины сторон АВ и ВС можно найти при помощи средней точки. Координаты середины стороны АВ: ( (x1 + x2) / 2 , (y1 + y2) / 2 ) = ( (2 + 3) / 2 , (2 + 2) / 2 ) = (2.5, 2). Координаты середины стороны ВС: ( (x2 + x3) / 2 , (y2 + y3) / 2 ) = ( (3 + 4) / 2 , (2 + 0) / 2 ) = (3.5, 1).

Уравнение прямой, соединяющей середины сторон АВ и ВС, можно найти методом нахождения коэффициента наклона и подстановкой точки в уравнение прямой. k = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (1 - 2) / (3.5 - 2.5) = -1.

Подставим точку (2.5, 2) в уравнение прямой и найдем b: 2 = -1*2.5 + b 2 + 2.5 = b b = 4.5

Таким образом, уравнение прямой, соединяющей середины сторон АВ и ВС: y = -x + 4.5.

д) Угол А треугольника АВС можно найти при помощи теоремы косинусов. Сначала найдем длины сторон треугольника: AB = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²) = √((3 - 2)² + (2 - 2)²) = √(1 + 0) = 1. BC = √((x3 - x2)² + (y3 - y2)²) = √((4 - 3)² + (0 - 2)²) = √(1 + 4) = √5. AC = √((x3 - x1)² + (y3 - y1)²) = √((4 - 2)² + (0 - 2)²) = √(4 + 4) = √8.

Теперь найдем косинус угла А по формуле: cos(A) = (BC² + AC² - AB²) / (2 * BC * AC). cos(A) = (√5² + √8² - 1²) / (2 * √5 * √8) cos(A) = (5 + 8 - 1) / (2 * √40) cos(A) = 12 / (2 * √40) cos(A) = 6 / √40 cos(A) = 6 / (2 * √10) cos(A) = 3 / √10

При аппроксимации √10 ≈ 3.162, получим: cos(A) ≈ 3 / 3.162 cos(A) ≈ 0.95

Для нахождения угла A можно использовать обратную функцию косинуса: A ≈ arccos(0.95) A ≈ 18.19 градусов (округленно до сотых).

Таким образом, угол А треугольника АВС примерно равен 18.19 градусов.