Question

Знайти та зобразити область визначення функції декількох змінних z=√x+y - √x-y

Answer 1

Ответ:

z=1+

(x−y)

3

Т.к. в функции присутствует квадратный корень, то следует записать для него ОДЗ:

(x-y)^3\geq 0(x−y)

3

≥0

Таким образом, нужно решить неравенство. Заметим, что:

(x-y)^3=(x-y)\cdot(x-y)^2(x−y)

3

=(x−y)⋅(x−y)

2

Для второго множителя неравенство выполняется при любых значениях x и y . Значит можно ограничиться первым множителем:

\begin{gathered}x-y\geq 0\\\\y\leq x\end{gathered}

x−y≥0

y≤x

Таким образом, область определения функции - область, лежащая на и под графиком функции y=xy=x

Answer 2

Щоб знайти область визначення функції, спочатку розглянемо вираз, який визначає функцію:

\[ z = \sqrt{x + y} - \sqrt{x - y} \]

Функція визначена тільки в тих точках \((x, y)\), де значення під коренем не може бути від'ємним або невизначеним.

1. Підкореневий вираз \(x + y\): - Щоб \(x + y\) було невід'ємним, необхідно, щоб обидва \(x\) і \(y\) були або додатні, або рівні нулю. - Таким чином, область визначення для першого члена \(\sqrt{x + y}\) - це множина точок \((x, y)\), де \(x \geq -y\) (для того, щоб \(x + y \geq 0\)).

2. Підкореневий вираз \(x - y\): - Щоб \(x - y\) було невід'ємним, необхідно, щоб \(x \geq y\). - Таким чином, область визначення для другого члена \(\sqrt{x - y}\) - це множина точок \((x, y)\), де \(x \geq y\).

Отже, область визначення функції складається з точок \((x, y)\), які задовольняють обидва умови:

\[ x \geq -y \quad \text{та} \quad x \geq y \]

Це можна об'єднати в одну умову:

\[ x \geq |y| \]

Отже, область визначення функції \(z = \sqrt{x + y} - \sqrt{x - y}\) - це множина точок \((x, y)\), де \(x \geq |y|\).