Question

Дана треугольная пирамида SABC, в основании которой лежит треугольник ABC с прямым углом C и катетами AC=10, BC=24. Все двугранные углы при основании рассматриваемой пирамиды равны 60∘. Найдите площадь поверхности конуса, вписанного в данную пирамиду. Считайте π≈3.

Answer 1

Ответ: 144 ед. кв.

Пошаговое объяснение: детали во вложении

Answer 2

Чтобы найти площадь поверхности конуса, вписанного в данную пирамиду, мы должны найти его радиус и образующую.

Рассмотрим треугольник ABC. У нас есть два катета AC = 10 и BC = 24, а угол C равен 90 градусов. Мы можем найти гипотенузу треугольника AB, используя теорему Пифагора:

AB = √(AC² + BC²) AB = √(10² + 24²) AB = √(100 + 576) AB = √676 AB = 26

Теперь рассмотрим треугольник SAB, который является прямоугольным треугольником с гипотенузой AB. Поскольку все двугранные углы при основании пирамиды равны 60 градусам, угол ASB также равен 60 градусам.

Образующая конуса равна высоте пирамиды SAB, которая является стороной треугольника AB. Зная сторону AB = 26, мы можем найти высоту пирамиды SAB следующим образом:

Высота = AB * sin(угол ASB) Высота = 26 * sin(60°) Высота = 26 * (√3 / 2) Высота = 13√3

Теперь, чтобы найти радиус конуса, мы можем использовать формулу:

Радиус = AB * sin(угол ASB) / 2 Радиус = 26 * (√3 / 2) / 2 Радиус = 13√3 / 2

Площадь поверхности конуса вычисляется по формуле:

Площадь = π * Радиус * (Радиус + Образующая) Площадь = 3 * (13√3 / 2) * (13√3 / 2 + 13√3) Площадь = 3 * (13√3 / 2) * (13√3 / 2 + 26√3 / 2) Площадь = 3 * (13√3 / 2) * (39√3 / 2) Площадь = (3 * 13 * 39 * 3) / 4 Площадь = 1755 / 4

Итак, площадь поверхности вписанного конуса составляет 1755 / 4 квадратных единиц.