Question

1)Даны точки А(-7; -5; 6), В(-2; 5; -3), С(3; -2; 4). Найти угол АВС и площадь треугольника АВС. 2)Даны точки А(5; 6; 1), В(-2; 4; -1), С(3; -3; 3), D(9; -3; -3). Найти объём пирамиды ABCD. 3)Даны вершины треугольника АВС: А(2; 4), В(1; -2), С(-1; -2). Найти точку пересечения высоты CN и медианы AM

Answer 1

Ответ:

Кроме 3

Пошаговое объяснение:

1)

S = 1/2 [AB, AC]

AB = (5; 10;-9)

AC = (10;3;-2)

[AB, AC] = | 5 10 -9 |

                 | 10 3 -2 |  --> (7;-80;-85)

| [AB,AC] | = $\sqrt{7^2 + (-80)^2 + (-85)^2}$ = $\sqrt{13674}$

Ответ: S = $\frac{\sqrt{13674} }{2}$

2)

V = 1/6 |AB AC AD|

AB = (-7;-2;-2)

AC=(-2;-9;2)

AD = (4;-9;-4)

|AB AC AD| = |-7 -2 -2 |

                      |-2  -9 2 |

                      |4  -9 -4 | --> |-486| = 486

V = 486/6 = 81

Ответ: 81

Answer 2

1) Нахождение угла и площади треугольника

Для начала, найдем векторы \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{BC}\), где точка \(A(-7, -5, 6)\), \(B(-2, 5, -3)\) и \(C(3, -2, 4)\).

\(\overrightarrow{AB} = B - A = (-2 - (-7), 5 - (-5), (-3) - 6) = (5, 10, -9)\)

\(\overrightarrow{AC} = C - A = (3 - (-7), (-2) - (-5), 4 - 6) = (10, 3, -2)\)

\(\overrightarrow{BC} = C - B = (3 - (-2), (-2) - 5, 4 - (-3)) = (5, -7, 7)\)

Теперь найдем угол между векторами \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\) с помощью скалярного произведения:

\(\cos \theta = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{\lvert \overrightarrow{AB} \rvert \cdot \lvert \overrightarrow{AC} \rvert}\)

где \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\) - скалярное произведение, \(\lvert \overrightarrow{AB} \rvert\) и \(\lvert \overrightarrow{AC} \rvert\) - модули векторов.

Площадь треугольника \(ABC\) можно найти по формуле Герона:

\(S = \sqrt{p(p - AB)(p - AC)(p - BC)}\)

где \(p = \frac{AB + AC + BC}{2}\) - полупериметр треугольника.

2) Нахождение объема пирамиды

Для нахождения объема пирамиды \(ABCD\) используем формулу:

\[V = \frac{1}{3} \cdot S_{\triangle ABC} \cdot h\]

где \(S_{\triangle ABC}\) - площадь основания пирамиды, а \(h\) - высота пирамиды, которую можно найти, зная, что \(h\) равна расстоянию от вершины \(D\) до плоскости \(\triangle ABC\).

3) Нахождение точки пересечения высоты и медианы

Для нахождения точки пересечения высоты \(CN\) и медианы \(AM\) в треугольнике \(ABC\) можно воспользоваться формулой:

\[M = \frac{A + C}{2}\]

\[N = \frac{2 \cdot \frac{A + B}{2} + C}{3}\]

где \(M\) - точка пересечения медиан, а \(N\) - точка пересечения высот.

Далее, если нужны дополнительные пояснения или примеры расчетов для этих задач, пожалуйста, дайте знать, и я с удовольствием помогу вам!