Question

В трапеции ABCD с большим основанием AD боковые стороны AB и CD продолжены до пересечения в точке О. Найдите, во сколько раз площадь треугольника BOC меньше площади треугольника AOD, если AB:BO=4:1

Answer 1

Ответ:

В 25 раз

Пошаговое объяснение:

< O - общий

Так как основания трапеции параллельны, то < OBC = < OAD - это соответственные углы при AD║BC  и секущей AB

Значит ΔOAD и ΔOBC подобны по двум углам

Найдем коэффициент подобия k = OB/OA

Пусть OB = x, тогда AB = 4x, так как AB:BO=4:1

Значит OA = x + 4x = 5x

k = x / 5x = 1/5

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия

S(ΔOBC) / S(ΔOAD) = k^2 = 1/25

Площадь ΔBOC меньше площади ΔAOD в 25 раз

Answer 2

Пусть x обозначает площадь треугольника BOC, а y обозначает площадь треугольника AOD.

Так как AB:BO = 4:1, мы можем предположить, что высота треугольника BOC также имеет отношение 4:1 к высоте треугольника AOD.

Пусть h1 будет высотой треугольника BOC, а h2 - высотой треугольника AOD. Тогда:

h1/h2 = AB/AD = 4/5

Зная это соотношение, мы можем найти h1 и h2:

h1 = (4/5) * h2

Площадь треугольника можно найти, используя формулу: площадь = (основание * высота) / 2.

Таким образом, площадь треугольника BOC равна: x = (BO * h1) / 2 = (BO * (4/5) * h2) / 2 = (2/5) * BO * h2

Площадь треугольника AOD равна: y = (AO * h2) / 2

Деление площади треугольника BOC на площадь треугольника AOD дает нам:

x/y = ((2/5) * BO * h2) / ((AO * h2) / 2) = (4/5) * (BO/AO)

Теперь нам нужно найти отношение BO/AO. Мы знаем, что AB:BO = 4:1, поэтому AB = 4 * BO. А также AB:AD = 4:5, поэтому AB = (4/9) * AD. Таким образом, мы можем записать:

(4/9) * AD = 4 * BO

BO/AO = (AD/9) / (AD/4) = 4/9

Таким образом, x/y = (4/5) * (4/9) = 16/45

Поэтому площадь треугольника BOC меньше площади треугольника AOD в 16/45 раз.