Question

Если x^2+(2m+4)x+m^2+5m=0 не имеет действительного корня. 1. Найдите m; 2. Если квадратное уравнение mx^2+(n-2)x+m-3=0 имеет действительные корни, найти корни; 3. Если корни в вопросе 2 равны α, β, α:β=1:2 и n является целым числом, найдите наименьший интеграл m

Answer 1

Ответ:

x²+2m·x+(m+2)=0

Представлено квадратное уравнение относительно переменной x. Если у такого уравнения есть два различных корня, то его дискриминант положителен. Составим неравенство и решим его.

D = (2m)²-4·1·(m+2) = 4m²-4m-8

D>0

4m²-4m-8>0  |:4

m²-m-2>0;  m²+m-2m-2>0;  m(m+1)-2(m+1)>0;  (m+1)(m-2)>0

Решим методом интервалов, смотри в приложении.

Ответ: m∈(-∞;-1)∪(2;+∞).

Пошаговое объяснение:

Answer 2

1. Для начала найдем дискриминант квадратного уравнения x^2 + (2m+4)x + m^2 + 5m = 0. Дискриминант D = (2m+4)^2 - 4(m^2 + 5m) = 4m^2 + 16m + 16 - 4m^2 - 20m = -4m - 16. Так как уравнение не имеет действительного корня, то D < 0. Получаем -4m - 16 < 0, откуда m > -4.

2. Теперь рассмотрим квадратное уравнение mx^2 + (n-2)x + m-3 = 0. По условию, оно имеет действительные корни, следовательно, дискриминант должен быть больше или равен нулю. D = (n-2)^2 - 4m(m-3) ≥ 0.

3. Если корни уравнения из вопроса 2 равны α и β, причем α:β=1:2, то сумма корней равна -b/m, а произведение корней равно c/m. Из условия α:β=1:2 следует, что α = x1, β = 2x1. Тогда сумма корней равна x1 + 2x1 = -(-n+2)/m = n-2/m = -b/m, а произведение корней равно x1*2x1 = 2x1^2 = c/m = m-3/m. Так как n является целым числом, то n-2 должно делиться на m.

Получаем систему неравенств: -4m - 16 < 0, (n-2)^2 - 4m(m-3) ≥ 0, n-2 делится на m.

Решив данную систему неравенств, найдем наименьшее целое значение m.