Question

Знайдіть екструмуми функції y=x³-6x²

Answer 1

Ответ:

Фото

Пошаговое объяснение:

Фото

Answer 2

Щоб знайти екстремуми функції y = x³ - 6x², спочатку візьмемо похідну цієї функції і прирівняємо її до нуля. Знайдені значення x будуть потенційними місцями екстремумів. Потім перевіримо значення другої похідної, щоб визначити, чи є ці екстремуми максимумами чи мінімумами.

Похідна функції y = x³ - 6x²: y' = 3x² - 12x

Тепер прирівняємо похідну до нуля і знайдемо значення x: 3x² - 12x = 0

Розкладемо це рівняння на множники: 3x(x - 4) = 0

Отримали два можливі значення x: x = 0 і x = 4.

Тепер перевіримо значення другої похідної для цих точок. Друга похідна обчислюється шляхом взяття похідної від похідної:

y'' = 6x - 12

Для x = 0: y''(0) = 6(0) - 12 = -12

Для x = 4: y''(4) = 6(4) - 12 = 12

Значення другої похідної вказує на те, що x = 0 є точкою перегину, тому вона не є екстремумом. З іншого боку, x = 4 має значення другої похідної, яке відмінне від нуля, що вказує на те, що це місце мінімуму.

Отже, функція y = x³ - 6x² має мінімум при x = 4. Значення y для цього мінімуму можна обчислити, підставивши x = 4 у вихідну функцію:

y = (4)³ - 6(4)² = 64 - 96 = -32

Таким чином, функція має мінімум y = -32 при x = 4.