Question

ОЧЕНЬ СРОЧНО! Доказать, что если в треугольнике две медианы взаимно перпендикулярны, то сумма их квадратов равна квадрату третьей медианы. ДАЮ 30 БАЛЛОВ!

Answer 1

Ответ:

Медианы AM и BN перпендикулярны.

Медиана делится точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины.

Обозначим AO=2x, OM=x, BO=2y, ON=y.

По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, BM²=BO²+OM².

$BM = \sqrt{ {(2y)}^{2} + {x}^{2} } \\ BM = \sqrt{4 {y}^{2} + {x}^{2} }$

$BC=2BM = 2 \sqrt{4 {y}^{2} + {x}^{2} }$

AN²=AO²+ON²

$AN = \sqrt{ {(2x)}^{2} + {y}^{2} } \\ AN = \sqrt{4 {x}^{2} + {y}^{2} }$

$AC=2AN = 2 \sqrt{4 {x}^{2} + {y}^{2} }$

AB²=AO²+BO²

$AB = \sqrt{ {(2x)}^{2} + {(2y)}^{2} } \\ AB = \sqrt{4 {x}^{2} + 4{y}^{2}} \\ AB = \sqrt{4( {x}^{2} + {y}^{2} ) } \\ AB = 2 \sqrt{ {x}^{2} + {y}^{2} }$

Формулы длины медианы:

$m_{c} = \frac{1}{2} \sqrt{2 {a}^{2} + 2 {b}^{2} - {c}^{2} }$

$CK= \frac{1}{2} \sqrt{2 \times {AC}^{2} +2 \times {BC}^{2} - {AB}^{2}}$

$CK = \frac{1}{2} \sqrt{2 \times {(2 \sqrt{4 {x}^{2} + {y}^{2} }) }^{2} + 2 \times {(2 \sqrt{ {x}^{2} + 4 {y}^{2} }) }^{2} - {(2 \sqrt{ {x}^{2} + {y}^{2} }) }^{2} }$

$CK = \frac{1}{2} \sqrt{2 \times 4 \times (4 {x}^{2} + {y}^{2}) + 2 \times 4( {x}^{2} + 4 {y}^{2}) - 4( {x}^{2} + {y}^{2}) } \\ CK = \frac{1}{2} \sqrt{32 {x}^{2} + 8 {y}^{2} + {8x}^{2} + 32 {y}^{2} - 4 {x}^{2} - {4y}^{2} } \\ CK = \frac{1}{2} \sqrt{36 {x}^{2} + 36 {y}^{2} } \\ CK = \frac{1}{2} \sqrt{36( {x}^{2} + {y}^{2}) } \\ CK = \frac{1}{2} \times 6 \sqrt{ {x}^{2} + {y}^{2} } \\ CK = 3 \sqrt{ {x}^{2} + {y}^{2} }$

Это длина третьей медианы.

Теперь найдем сумму квадратов двух медиан и приравняем к квадрату третьей.

AM=2x+x=3x

BN=2y+y=3y

${AM}^{2} + {BN}^{2} = {(3x)}^{2} + {(3y)}^{2} = 9 {x}^{2} + 9 {y}^{2}$

${CK}^{2} = {(3 \sqrt{ {x}^{2} + {y}^{2} } )}^{2} = 9( {x}^{2} + {y}^{2} ) = 9 {x}^{2} + 9 {y}^{2}$

Как мы видим

${AM}^{2} + {BN}^{2} = {CK}^{2}$

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся известными свойствами медиан треугольника и применим теорему Пифагора.

Пусть ABC - произвольный треугольник, а AD и BE - медианы, перпендикулярные друг другу. Требуется доказать, что AD^2 + BE^2 = DE^2, где D и E - середины соответствующих сторон треугольника ABC.

Согласно свойствам медиан, точка D делит сторону BC на две равные части, а точка E делит сторону AC на две равные части.

Обозначим стороны треугольника ABC следующим образом: AB = c, BC = a, CA = b.

Так как точка D делит сторону BC пополам, то BD = CD = a/2. Аналогично, так как точка E делит сторону AC пополам, то AE = CE = b/2.

Рассмотрим треугольник ADE. По теореме Пифагора: AD^2 = AE^2 + DE^2. (1)

Рассмотрим треугольник BDE. По теореме Пифагора: BE^2 = BD^2 + DE^2. (2)

Так как BD = CD = a/2 и BE = AE = b/2, подставим эти значения в уравнение (2): BE^2 = (a/2)^2 + DE^2. BE^2 = a^2/4 + DE^2. (3)

Вычтем уравнение (3) из уравнения (1): AD^2 - BE^2 = AE^2 + DE^2 - (a^2/4 + DE^2). AD^2 - BE^2 = AE^2 - a^2/4.

Так как AE = b/2, заменим в уравнении (4) AE на b/2: AD^2 - BE^2 = (b/2)^2 - a^2/4. AD^2 - BE^2 = b^2/4 - a^2/4. AD^2 - BE^2 = (b^2 - a^2)/4.

Заметим, что b^2 - a^2 = (b - a)(b + a). Подставим это в уравнение (5): AD^2 - BE^2 = ((b - a)(b + a))/4.

Так как b + a = c (сумма двух сторон треугольника), заменим b + a на c: AD^2 - BE^2 = ((b - a)c)/4. (6)

Так как AD и BE перпендикулярны, их произведение равно 0: AD * BE = 0.

Учитывая это, распишем произведение (AD + BE) * (AD - BE): (AD + BE) * (