Question

Знайдіть похідну функціі f(x)=x2-1/x у точці x0=2

Answer 1

Ответ:

$f'(2)=1,25$

Пошаговое объяснение:

Найти производную функции $f(x)=\dfrac{x^{2} -1}{x}$  в точке $x{_0}= 2$

Воспользуемся правилом нахождения производной частного

$\left(\dfrac{u}{v} \right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2} }$     где u и v - дифференцируемые функции.

$f'(x)=\left(\dfrac{x^{2} -1}{x}\right)'=\dfrac{(x^{2} -1)'\cdot x-(x^{2} -1)\cdot x'}{x^{2} } =\dfrac{2x\cdot x-(x^{2} -1)\cdot 1}{x^{2} } =\\\\=\dfrac{2x^{2} -x^{2} +1}{x^{2} } =\dfrac{x^{2} +1}{x^{2} }$

или производную можно было по другому, предварительно преобразовав функцию.

$f(x)=\dfrac{x^{2} -1}{x}=\dfrac{x^{2} }{x} -\dfrac{1}{x} =x-\dfrac{1}{x}\\f'(x)=\left(x-\dfrac{1}{x}\right)'=1+\dfrac{1}{x^{2} } =\dfrac{x^{2}+1 }{x^{2} }$

Найдем значение производной в точке. Для этого в полученную производную вместо х подставим 2.

$f'(2)=\dfrac{2^{2}+1 }{2^{2} } =\dfrac{4+1}{4} =\dfrac{5}{4} =1\dfrac{1}{4} =1,25$

#SPJ1

Answer 2

Щоб знайти похідну функції f(x) = (x^2 - 1) / x у точці x0 = 2, використовуємо правило диференціювання частинами. Правило це виглядає так:

d(u/v) / dx = (v * du/dx - u * dv/dx) / v^2

У нашому випадку: u = x^2 - 1, v = x

Знайдемо похідні для u та v:

du/dx = 2x dv/dx = 1

Тепер підставимо ці значення до формули:

d((x^2 - 1)/x) / dx = ((x * 2x) - ((x^2 - 1) * 1)) / x^2

Спростимо вираз:

= (2x^2 - (x^2 - 1)) / x^2 = (2x^2 - x^2 + 1) / x^2 = (x^2 + 1) / x^2

Отже, похідна функції f(x) = (x^2 - 1) / x у точці x0 = 2 дорівнює (2^2 + 1) / 2^2 = 5 / 4.