Question

Помогите, пожалуйста, решить с помощью ПЕРВОГО ЗАМЕЧАТЕЛЬНОГО ПРЕДЕЛА tgx−sinx \ x^2*sin2x

Answer 1

Для решения этой задачи с помощью первого замечательного предела, мы можем разложить функции tg(x) и sin(x) в ряды Тейлора в окрестности нуля. Первый замечательный предел гласит:

lim(x→0) sin(x) / x = 1

используя это, мы можем преобразовать исходное выражение:

lim(x→0) (tg(x) - sin(x)) / (x^2 * sin(2x)) = lim(x→0) (sin(x) / x - sin(x)) / (x^2 * sin(2x))

Разложим sin(x) / x и sin(2x) в ряды Тейлора:

sin(x) / x = (x - (1/6)x^3 + O(x^5)) / x = 1 - (1/6)x^2 + O(x^4) sin(2x) = 2x - (4/3)x^3 + O(x^5)

Подставим эти разложения в исходное выражение:

lim(x→0) (sin(x) / x - sin(x)) / (x^2 * sin(2x)) = lim(x→0) (1 - (1/6)x^2 + O(x^4) - (x - (1/6)x^3 + O(x^5))) / (x^2 * (2x - (4/3)x^3 + O(x^5))) = lim(x→0) ((1 - x) - (1/6)x^2 + (1/6)x^3 + O(x^4)) / (2x^3 - (4/3)x^4 + O(x^6))

Теперь мы можем использовать первый замечательный предел, чтобы упростить это выражение:

lim(x→0) ((1 - x) - (1/6)x^2 + (1/6)x^3 + O(x^4)) / (2x^3 - (4/3)x^4 + O(x^6)) = lim(x→0) (1 - x) / (2x^3) = lim(x→0) 1 / (2x^2) = +∞

Таким образом, предел этого выражения при x стремящемся к нулю равен плюс бесконечности (+∞).