Question

Упростить sin2a/sin3a - cos2a/cos3a

Answer 1

Формула синуса разности:

$\sin(x-y)=\sin x\cos y-\sin y\cos x$

Формула синуса двойного угла:

$\sin2x=2\sin x\cos x$

Рассмотрим выражение:

$\dfrac{\sin2a}{\sin3a} -\dfrac{\cos2a}{\cos3a}= \dfrac{\sin2a\cos3a}{\sin3a\cos3a} -\dfrac{\sin3a\cos2a}{\sin3a\cos3a} = \dfrac{\sin2a\cos3a -\sin3a\cos2a}{\sin3a\cos3a} =$

$=2\cdot\dfrac{\sin(2a-3a)}{2\sin3a\cos3a} =2\cdot\dfrac{\sin(-a)}{\sin6a} =2\cdot\dfrac{-\sin a}{\sin6a} =\boxed{-\dfrac{2\sin a}{\sin6a}}$

Answer 2

Для упрощения выражения sin(2a)/sin(3a) - cos(2a)/cos(3a) воспользуемся тригонометрическими тождествами.

Начнем с раскрытия функций синуса и косинуса суммы углов: sin(2a) = 2sin(a)cos(a) cos(2a) = cos^2(a) - sin^2(a) = cos^2(a) - (1 - cos^2(a)) = 2cos^2(a) - 1

sin(3a) = 3sin(a) - 4sin^3(a) cos(3a) = 4cos^3(a) - 3cos(a)

Подставим эти значения в исходное выражение: (2sin(a)cos(a))/(3sin(a) - 4sin^3(a)) - (2cos^2(a) - 1)/(4cos^3(a) - 3cos(a))

Теперь проведем общий знаменатель для двух дробей: (2sin(a)cos(a))(4cos^3(a) - 3cos(a)) - (2cos^2(a) - 1)(3sin(a) - 4sin^3(a)) / (3sin(a) - 4sin^3(a))(4cos^3(a) - 3cos(a))

Раскроем скобки и упростим выражение: 8sin(a)cos^4(a) - 6sin(a)cos^2(a) - 12sin^3(a)cos(a) + 9sin(a) - 8cos^2(a)sin(a) + 3sin(a) - 12cos^2(a)sin^3(a) + 4sin^5(a) / (3sin(a) - 4sin^3(a))(4cos^3(a) - 3cos(a))

Упростим подобные члены и приведем подобные слагаемые: 8sin(a)cos^4(a) - 12sin(a)cos^2(a) - 12sin^3(a)cos(a) + 12sin(a) + 4sin^5(a) / (3sin(a) - 4sin^3(a))(4cos^3(a) - 3cos(a))

Это упрощенное выражение представляет результат исходного выражения sin(2a)/sin(3a) - cos(2a)/cos(3a).