Question

Доведіть,що значення виразу: 113³-28³ ділиться націло на 85​​

Answer 1

Ответ:

113³ - 28³  = 85 · (113² + 113 · 28 + 28²) - делится на 85.

Пошаговое объяснение:

Докажите, что значение выражения: 113³-28³ делится нацело на 85.

113³-28³  - разность кубов двух чисел.

Вспомним формулу:

a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

Применим к данному выражению:

113³ - 28³  = (113 - 28)(113² + 113 · 28 + 28²)=

= 85 · (113² + 113 · 28 + 28²)

Значение второй скобки можно не считать, так как:

• Произведение делится на данное число, если хотя бы один множитель делится на это число.

⇒ 113³ - 28³  = 85 · (113² + 113 · 28 + 28²) - делится на 85.

Answer 2

Щоб довести, що значення виразу $113^3 - 28^3$ ділиться націло на 85, ми можемо використати теорему про ділення з остачею.

Теорема: Якщо $a$ і $b$ цілі числа, і $c$ - ціле число, що не ділиться на $b$, то $(a - b)$ ділиться націло на $c$ тоді й тільки тоді, коли $a$ ділиться націло на $c$ і $b$ ділиться націло на $c$.

У нашому випадку, $a = 113^3$, $b = 28^3$, $c = 85$.

Спочатку перевіримо, чи ділиться $113^3$ націло на 85:

$113^3 \mod 85$

$= (113 \mod 85)^3 \mod 85$

$= 28^3 \mod 85$

Тепер перевіримо, чи ділиться $28^3$ націло на 85:

$28^3 \mod 85$

$= (28 \mod 85)^3 \mod 85$

$= 28^3 \mod 85$

Оскільки $28^3 \mod 85 = 28^3 \mod 85$, ми можемо застосувати теорему про ділення з остачею. Тому $(113^3 - 28^3)$ ділиться націло на 85.