Question

В варианте олимпиады 10 задач, каждая оценивается в 8 баллов (за задачу можно получить целое число от 0 до 8 баллов включительно). По результатам проверки все участники набрали разное число баллов. Члены оргкомитета втихаря исправили оценки 0 на 6, 1 на 7, 2 на 8. В результате этого участники упорядочились в точности в обратном порядке. Какое наибольшее количество участников могло быть?

Answer 1

Покажем, что больше 11 участников быть не могло. Действительно, у занявшего 2 место должно быть не менее 1 исправленной оценки, чтобы в результате он получил больше 1 места. Аналогично, у занявшего 3 место должно быть не менее 2 исправленных оценок, чтобы в результате он получил больше 2 места (если будет ровно 1 оценка, он по-прежнему будет отставать от 2 места), и так далее, у 11 участника должно быть не меньше 10 исправленных оценок, у 12 участника должно быть не меньше 11 исправленных оценок, что невозможно по условию. 

Покажем, что могло быть ровно 11 участников. Пусть первый получил 3 балла за каждую задачу, всего 30 баллов, второй получил 3 балла за все задачи кроме одной и 0 баллов за одну задачу, всего 27 баллов, и так далее, последний получил 0 баллов за все задачи. Тогда после исправления у последнего будет 6 баллов за все задачи и 60 баллов всего, у предпоследнего 6 баллов за 9 задач и 3 балла за 1 задачу, 57 баллов всего, и так далее, у первого по-прежнему 30 баллов, легко видеть, что участники упорядочились в точности в обратном порядке и условие задачи выполнено.

Ответ: 11 участников.