Question

Докажите, что значение выражения: 46 ^ 3 + 4 ^ 3 делится на 50​

Answer 1

Ответ:

Мы можем доказать это, используя отношение конгруэнтности в модульной арифметике.

Во-первых, мы можем переписать 46^3 как (50 - 4)^3:

(50 - 4)^3 = 50^3 - 3 * 50^2 * 4 + 3 * 50 * 4^2 - 4^3

Теперь, подставив значение 50^3, мы имеем:

50^3 - 3 * 50^2 * 4 + 3 * 50 * 4^2 - 4^3 = 125000 - 6000 + 600 - 64 = 119936

Итак, 46^3 + 4^3 = 119936 + 64 = 120000, что делится на 50.

Следовательно, выражение 46^3 + 4^3 делится на 50.

Answer 2

Для доказательства, что значение выражения $46^3 + 4^3$ делится на 50, мы можем использовать свойство модуля, а именно: если $a$ делится на $b$, то $a^n$ также делится на $b$, где $n$ - целое число.

Начнем с первого слагаемого: $46^3$. Мы можем записать это выражение как $(50 - 4)^3$, используя тот факт, что $50 - 4 = 46$. Теперь мы можем применить бином Ньютона для раскрытия скобок:

$(50 - 4)^3 = 50^3 - 3 \cdot 50^2 \cdot 4 + 3 \cdot 50 \cdot 4^2 - 4^3$

Заметим, что каждый из членов этой суммы делится на 50. Это следует из того факта, что каждый член содержит множитель 50. Таким образом, каждый член суммы делится на 50.

Рассмотрим второе слагаемое: $4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4 \cdot 16$. Здесь также есть множитель 4, который делится на 50.

Теперь сложим два слагаемых:

$46^3 + 4^3 = (50^3 - 3 \cdot 50^2 \cdot 4 + 3 \cdot 50 \cdot 4^2 - 4^3) + (4 \cdot 16)$

Как мы уже отметили, каждый член первого слагаемого делится на 50. Кроме того, второе слагаемое, $4 \cdot 16$, также делится на 50.

Таким образом, все члены суммы делятся на 50, и сама сумма также делится на 50.

Таким образом, мы доказали, что значение выражения $46^3 + 4^3$ делится на 50.